Muy bien, vamos a resolver cada una de las afirmaciones dadas:
#### a) El grado de [tex]\( P(x) \)[/tex] debe ser entero positivo, además, mayor o igual que 1.
Respuesta: Verdadero (V)
Justificación: El grado de un polinomio [tex]\( P(x) \)[/tex] (representado como [tex]\( \deg(P(x)) \)[/tex]) es siempre un número entero no negativo. Para la división entre polinomios, el dividendo (que en este caso es [tex]\( P(x) \)[/tex]) debe tener un grado igual o mayor que el del divisor. En este caso, el divisor es un polinomio lineal ([tex]\(3x + 6\)[/tex]) de grado 1. Por lo tanto, el grado de [tex]\( P(x) \)[/tex] debe ser al menos 1, lo que lo convierte en un entero positivo mayor o igual que 1.
#### b) Si el resto es 0, entonces [tex]\( P(x) \)[/tex] es un factor de " [tex]\( 3x + 6 \)[/tex]".
Respuesta: Falso (F)
Justificación: La afirmación correcta debería ser que "si el resto es 0, entonces [tex]\( 3x + 6 \)[/tex] es un factor de [tex]\( P(x) \)[/tex]". Esto es porque, si al dividir [tex]\( P(x) \)[/tex] por [tex]\( 3x + 6 \)[/tex], el resto es 0, significa que [tex]\( 3x + 6 \)[/tex] divide exactamente a [tex]\( P(x) \)[/tex]. No implica que [tex]\( P(x) \)[/tex] sea un factor de [tex]\( 3x + 6 \)[/tex]; más bien, es al revés: [tex]\( 3x + 6 \)[/tex] es un factor de [tex]\( P(x) \)[/tex].
#### c) Si el resto es diferente de 0, entonces [tex]\( P(x) \)[/tex] es divisible entre [tex]\( -3x + 6 \)[/tex].
Respuesta: Falso (F)
Justificación: La afirmación correcta debería ser que "si el resto es diferente de 0, entonces [tex]\( P(x) \)[/tex] no es divisible por [tex]\( 3x + 6 \)[/tex]". Si al dividir [tex]\( P(x) \)[/tex] entre [tex]\( 3x + 6 \)[/tex] obtenemos un resto distinto de 0, esto significa que [tex]\( 3x + 6 \)[/tex] no es un divisor exacto de [tex]\( P(x) \)[/tex]. Además, hablar de [tex]\( -3x + 6 \)[/tex] no tiene relevancia en este contexto, ya que el divisor en cuestión es [tex]\( 3x + 6 \)[/tex].
#### d) El resto es [tex]\( P(-2) \)[/tex].
Respuesta: Verdadero (V)
Justificación: Esto es correcto de acuerdo con el teorema del resto. El teorema del resto dice que si divides un polinomio [tex]\( P(x) \)[/tex] por un binomio de la forma [tex]\( (x - a) \)[/tex], el resto de esa división es igual a [tex]\( P(a) \)[/tex]. En este caso, nuestro divisor es [tex]\( 3x + 6 \)[/tex], que podemos escribir como [tex]\( 3(x + 2) \)[/tex]. Aplicando el teorema del resto, debemos evaluar [tex]\( P(x) \)[/tex] en el valor que hace cero al divisor [tex]\( 3(x + 2) \)[/tex], es decir, [tex]\( x = -2 \)[/tex]. Por lo tanto, el resto es [tex]\( P(-2) \)[/tex].
En resumen, las respuestas para cada afirmación son:
a) Verdadero (V)
b) Falso (F)
c) Falso (F)
d) Verdadero (V)
