Para hallar el valor de [tex]\( m \)[/tex] en la ecuación [tex]\( 2x^2 - (m+4)x - 3m = 0 \)[/tex], dada la condición de que las raíces son recíprocas, sigamos estos pasos:
1. Entender la propiedad de las raíces recíprocas:
Si dos números [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( b \)[/tex] son raíces recíprocas, esto significa que [tex]\( a \cdot b = 1 \)[/tex].
2. Ecuación cuadrática estándar:
La ecuación cuadrática está normalmente en la forma [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]. En nuestro caso, podemos escribir la ecuación dada como
[tex]\[
2x^2 - (m + 4)x - 3m = 0.
\][/tex]
3. Identificar los coeficientes:
Aquí, identificamos:
- [tex]\( a = 2 \)[/tex] (coeficiente de [tex]\( x^2 \)[/tex]),
- [tex]\( b = -(m + 4) \)[/tex] (coeficiente de [tex]\( x \)[/tex]),
- [tex]\( c = -3m \)[/tex] (término constante).
4. Condición de las raíces recíprocas:
Para una ecuación cuadrática [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex], el producto de las raíces [tex]\( \alpha \cdot \beta \)[/tex] es igual a [tex]\( \frac{c}{a} \)[/tex]. Como nuestras raíces son recíprocas, debemos tener [tex]\( \alpha \cdot \beta = 1 \)[/tex].
5. Aplicar la condición:
Usamos la condición de raíces recíprocas en la expresión [tex]\(\alpha \cdot \beta\)[/tex]:
[tex]\[
\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a} = \frac{-3m}{2}.
\][/tex]
Ya que [tex]\(\alpha \cdot \beta = 1\)[/tex], tenemos:
[tex]\[
\frac{-3m}{2} = 1.
\][/tex]
6. Resolver para [tex]\( m \)[/tex]:
Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 2 para despejar [tex]\( m \)[/tex]:
[tex]\[
-3m = 2.
\][/tex]
Luego, dividimos ambos lados por -3:
[tex]\[
m = -\frac{2}{3}.
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( m \)[/tex] que cumple la condición de que las raíces de la ecuación cuadrática son recíprocas es:
[tex]\[
m = -\frac{2}{3}.
\][/tex]
