Para desarrollar y combinar términos semejantes en la expresión [tex]\(\left(7 b^5 - 4 b\right)\left(7 b^5 + 4 b\right)\)[/tex], utilizamos una identidad algebraica conocida como el producto de la suma por la diferencia. Esta identidad se usa para simplificar el proceso de multiplicación de binomios que tienen la misma estructura pero con un cambio de signo en el término intermedio.
La identidad que aplicaremos es:
[tex]\[
(a - b)(a + b) = a^2 - b^2
\][/tex]
En este caso, tomamos:
[tex]\[
a = 7b^5 \quad \text{y} \quad b = 4b
\][/tex]
Sustituimos estos valores en la identidad:
[tex]\[
(7b^5 - 4b)(7b^5 + 4b) = (7b^5)^2 - (4b)^2
\][/tex]
Ahora procedemos a realizar las operaciones:
1. Elevamos [tex]\(7b^5\)[/tex] al cuadrado:
[tex]\[
(7b^5)^2 = 49b^{10}
\][/tex]
2. Elevamos [tex]\(4b\)[/tex] al cuadrado:
[tex]\[
(4b)^2 = 16b^2
\][/tex]
Finalmente, restamos los resultados obtenidos:
[tex]\[
49b^{10} - 16b^2
\][/tex]
Por lo tanto, la expresión desarrollada y simplificada es:
[tex]\[
49b^{10} - 16b^2
\][/tex]
