Para resolver la pregunta de cuántos años tienes si tu edad coincide con el valor de [tex]\( E(x) = 2x^2 + x \)[/tex] para un valor de [tex]\( x \)[/tex] igual al número de factores primos al factorizar el siguiente polinomio [tex]\( F(a, b) = 5a^9 b^3 + 15a^6 b^7 \)[/tex], primero vamos a factorizar el polinomio y luego aplicaremos la función dada para determinar la edad.
### Paso 1: Factorización del Polinomio
El polinomio dado es:
[tex]\[ F(a, b) = 5a^9 b^3 + 15a^6 b^7 \][/tex]
Podemos extraer el factor común de los términos:
[tex]\[ F(a, b) = 5 a^6 b^3 \left( a^3 + 3 b^4 \right) \][/tex]
### Paso 2: Identificación de los Factores Primos
La factorización nos muestra los siguientes factores:
[tex]\[ F(a, b) = 5 \cdot a^6 \cdot b^3 \cdot (a^3 + 3b^4) \][/tex]
Para contar el número de factores primos:
- [tex]\(5\)[/tex] es un factor primo.
- [tex]\(a^6\)[/tex] contiene [tex]\(a\)[/tex] como factor primo (aunque está elevado a 6, solo consideramos [tex]\(a\)[/tex] una vez).
- [tex]\(b^3\)[/tex] contiene [tex]\(b\)[/tex] como factor primo (aunque está elevado a 3, solo consideramos [tex]\(b\)[/tex] una vez).
- [tex]\(a^3 + 3b^4\)[/tex] se considera un solo factor en sí mismo ya que no puede ser simplificado más.
Entonces, los factores que tenemos son: [tex]\(5\)[/tex], [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex], y [tex]\(a^3 + 3b^4\)[/tex]. Aunque parece que hay cuatro términos, solo consideramos tres factores primos únicos: [tex]\(b\)[/tex], [tex]\(a\)[/tex], y el término compuesto [tex]\(a^3 + 3b^4\)[/tex].
### Paso 3: Número de Factores Primos
El número total de factores primos únicos es 3.
### Paso 4: Cálculo de la Edad
La edad, [tex]\( E(x) \)[/tex], se calcula con:
[tex]\[ E(x) = 2x^2 + x \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( x \)[/tex] con el número de factores primos (3):
[tex]\[ E(3) = 2(3)^2 + 3 \][/tex]
[tex]\[ E(3) = 2(9) + 3 \][/tex]
[tex]\[ E(3) = 18 + 3 \][/tex]
[tex]\[ E(3) = 21 \][/tex]
### Conclusión
Tu edad es 21 años.
