5. El ancho de una casa tiene forma rectangular y mide [tex][tex]$6 \, m$[/tex][/tex], mientras que su largo mide [tex][tex]$8 \, m$[/tex][/tex]. Si se desea instalar un router de manera que la señal llegue a todos los puntos de la casa, ¿cuál será la cobertura mínima de la señal? Considera [tex][tex]$\pi=3$[/tex][/tex].

A) [tex][tex]$27 \, m^2$[/tex][/tex]
B) [tex][tex]$30 \, m^2$[/tex][/tex]
C) [tex][tex]$48 \, m^2$[/tex][/tex]
D) [tex][tex]$75 \, m^2$[/tex][/tex]



Answer :

Para determinar la cobertura mínima de la señal que debe proveer el router para alcanzar todos los puntos de una casa rectangular de ancho 6 metros y largo 8 metros, sigamos estos pasos:

1. Calcular la diagonal del rectángulo:
La diagonal de un rectángulo se puede calcular usando el teorema de Pitágoras, el cual establece que el cuadrado de la diagonal es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados del rectángulo.

[tex]\[ \text{diagonal} = \sqrt{(\text{ancho}^2 + \text{largo}^2)} \][/tex]

Sustituyendo los valores dados:

[tex]\[ \text{diagonal} = \sqrt{(6^2) + (8^2)} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{metros} \][/tex]

2. Determinar el radio del círculo que cubre el rectángulo:
La mínima cobertura asegurada se da por un círculo cuyo radio es igual a la mitad de la diagonal del rectángulo, esto es porque la señal debe poder llegar al punto más lejano dentro de la casa a partir del router ubicado en un punto central.

[tex]\[ \text{radio} = \frac{\text{diagonal}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{metros} \][/tex]

3. Calcular el área del círculo (cobertura mínima de la señal):
El área de un círculo se calcula con la fórmula:

[tex]\[ \text{Área} = \pi \cdot (\text{radio})^2 \][/tex]

Con [tex]\(\pi = 3\)[/tex] y radio de 5 metros:

[tex]\[ \text{Área} = 3 \cdot (5)^2 = 3 \cdot 25 = 75 \, \text{metros cuadrados} \][/tex]

Por lo tanto, la cobertura mínima de la señal del router para que alcance a todas las partes de la casa es de [tex]\(75 \, \text{m}^2\)[/tex].

La respuesta correcta es:
D) [tex]\(75 \, \text{m}^2\)[/tex]