Sea la ecuación de onda [tex]\(y = 12\sin(x - 115\pi t)\)[/tex], donde las distancias están en cm y el tiempo en s.

Encuentre:
1. La amplitud
2. El número de onda
3. La frecuencia angular
4. La longitud de onda
5. El periodo
6. La frecuencia
7. La velocidad
8. El sentido de propagación de la onda

Además:
9. Encuentre la ecuación de la partícula ubicada en [tex]\(x = 5\)[/tex].
10. Calcule la [tex]\(V_{\text{max}}\)[/tex] y la aceleración máxima de esta partícula.



Answer :

¡Claro! Vamos a resolver cada uno de los puntos requeridos para la ecuación de onda [tex]\( y = 12 \sin(x - 115\pi t) \)[/tex].

1. Amplitud (A):
La amplitud es el coeficiente multiplicador del seno en la ecuación de onda. Aquí, la amplitud es [tex]\( A = 12 \)[/tex] cm.

2. Número de onda (k):
El número de onda se obtiene del coeficiente del término [tex]\( x \)[/tex] dentro del seno. En este caso, ese coeficiente es 1, por lo tanto, el número de onda es [tex]\( k = 1 \)[/tex] cm[tex]\(^{-1}\)[/tex].

3. Frecuencia angular (ω):
La frecuencia angular es el coeficiente del término [tex]\( t \)[/tex] dentro del seno. Aquí, la frecuencia angular es [tex]\( \omega = 115\pi \)[/tex]. Aproximadamente esto es:
[tex]\[ \omega \approx 361.283 \, \text{rad/s} \][/tex]

4. Longitud de onda (λ):
La longitud de onda se relaciona con el número de onda a través de la ecuación: [tex]\( \lambda = \frac{2\pi}{k} \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( k = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ \lambda = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \approx 6.283 \, \text{cm} \][/tex]

5. Periodo (T):
El periodo está relacionado con la frecuencia angular mediante la fórmula [tex]\( T = \frac{2\pi}{\omega} \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( \omega = 115\pi \)[/tex]:
[tex]\[ T = \frac{2\pi}{115\pi} = \frac{2}{115} \approx 0.01739 \, \text{s} \][/tex]

6. Frecuencia (f):
La frecuencia es el inverso del periodo, [tex]\( f = \frac{1}{T} \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( T \approx 0.01739 \)[/tex] s:
[tex]\[ f \approx \frac{1}{0.01739} \approx 57.5 \, \text{Hz} \][/tex]

7. Velocidad de propagación de la onda (v):
La velocidad de propagación de la onda se calcula con [tex]\( v = \lambda f \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( \lambda \approx 6.283 \)[/tex] cm y [tex]\( f \approx 57.5 \)[/tex] Hz:
[tex]\[ v \approx 6.283 \times 57.5 \approx 361.283 \, \text{cm/s} \][/tex]

8. Sentido de propagación:
La onda se propaga en sentido positivo del eje [tex]\( x \)[/tex], ya que el término en la función senoidal se presenta como [tex]\( (x - 115\pi t) \)[/tex].

9. Ecuación de la partícula en [tex]\( x = 5 \)[/tex]:
Sustituyendo [tex]\( x = 5 \)[/tex] cm en la ecuación de onda original:
[tex]\[ y = 12 \sin(5 - 115\pi t) \][/tex]
Entonces, la ecuación de la partícula en [tex]\( x = 5 \)[/tex] es:
[tex]\[ y(5, t) = 12 \sin(5 - 115\pi t) \][/tex]

10. Máxima velocidad (V[tex]\(_{\text{max}}\)[/tex]) y máxima aceleración (A[tex]\(_{\text{max}}\)[/tex]) de la partícula:
- La velocidad máxima de una partícula en una onda se calcula como [tex]\( V_{\text{max}} = A \omega \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( A = 12 \)[/tex] cm y [tex]\( \omega \approx 361.283 \)[/tex] rad/s:
[tex]\[ V_{\text{max}} \approx 12 \times 361.283 \approx 4335.398 \, \text{cm/s} \][/tex]

- La aceleración máxima de una partícula en una onda se calcula como [tex]\( A_{\text{max}} = A \omega^2 \)[/tex].
Sustituyendo [tex]\( A = 12 \)[/tex] cm y [tex]\( \omega \approx 361.283 \)[/tex] rad/s:
[tex]\[ A_{\text{max}} \approx 12 \times (361.283)^2 \approx 1566306.218 \, \text{cm/s}^2 \][/tex]

Espero que esta explicación detallada te haya ayudado a comprender cómo se extraen y calculan estos parámetros de la ecuación de una onda.