Para determinar la función [tex]\( f(x) \)[/tex] a partir de la expresión dada [tex]\( f(x+4) = x^2 - 6x + 5 \)[/tex], necesitamos realizar una sustitución adecuada. Aquí está el paso a paso detallado:
1. Entender la relación:
Necesitamos encontrar [tex]\( f(x) \)[/tex]. Sabemos que [tex]\( f(x+4) \)[/tex] está expresada como [tex]\( x^2 - 6x + 5 \)[/tex]. Esto indica que si sustituimos [tex]\( x + 4 \)[/tex] en lugar de [tex]\( x \)[/tex] en [tex]\( f(x) \)[/tex], obtendremos la expresión dada.
2. Sustitución inversa:
Para encontrar [tex]\( f(x) \)[/tex], reescribimos [tex]\( x \)[/tex] en términos de otro valor, digamos [tex]\( x' \)[/tex]. Si [tex]\( x = x' + 4 \)[/tex], entonces [tex]\( x' = x - 4 \)[/tex].
Ahora, sustituimos [tex]\( x - 4 \)[/tex] en lugar de [tex]\( x \)[/tex] en [tex]\( f(x + 4) \)[/tex]:
[tex]\[
f(x + 4) = (x - 4)^2 - 6(x - 4) + 5
\][/tex]
3. Simplificar la expresión:
Vamos a sustituir y simplificar:
[tex]\[
f(x) = (x - 4)^2 - 6(x - 4) + 5
\][/tex]
Desarrollamos el cuadrado y simplificamos paso a paso:
[tex]\[
(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16
\][/tex]
[tex]\[
-6(x - 4) = -6x + 24
\][/tex]
Ahora, combinamos todos los términos:
[tex]\[
f(x) = x^2 - 8x + 16 - 6x + 24 + 5
\][/tex]
Sumando todos los términos constantes:
[tex]\[
f(x) = x^2 - 8x - 6x + 16 + 24 + 5
\][/tex]
[tex]\[
f(x) = x^2 - 14x + 45
\][/tex]
4. Resultado final:
Hemos encontrado que la expresión simplificada de [tex]\( f(x) \)[/tex] es [tex]\( x^2 - 14x + 45 \)[/tex].
Entonces, la respuesta correcta es:
[tex]\[ \boxed{A) x^2 - 14x + 45} \][/tex]
