Para resolver este problema, necesitamos determinar los valores de [tex]\(x\)[/tex] e [tex]\(y\)[/tex] a partir de las ecuaciones dadas y luego calcular [tex]\(x^2 - y^2\)[/tex].
Las ecuaciones son:
[tex]\[ x = 3y - 4 \][/tex]
[tex]\[ x = 5y - 16 \][/tex]
Primer paso: Igualar las dos ecuaciones para resolver [tex]\(y\)[/tex]
Dado que ambas ecuaciones son igual a [tex]\(x\)[/tex], podemos igualarlas entre sí:
[tex]\[ 3y - 4 = 5y - 16 \][/tex]
Segundo paso: Resolver para [tex]\(y\)[/tex]
Restamos [tex]\(3y\)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[ -4 = 2y - 16 \][/tex]
Añadimos 16 a ambos lados:
[tex]\[ 12 = 2y \][/tex]
Dividimos ambos lados por 2:
[tex]\[ y = 6 \][/tex]
Tercer paso: Sustituir el valor de [tex]\(y\)[/tex] en una de las ecuaciones para encontrar [tex]\(x\)[/tex]
Usamos la primera ecuación [tex]\(x = 3y - 4\)[/tex]:
[tex]\[ x = 3(6) - 4 \][/tex]
[tex]\[ x = 18 - 4 \][/tex]
[tex]\[ x = 14 \][/tex]
Cuarto paso: Calcular [tex]\(x^2 - y^2\)[/tex]
Tenemos [tex]\(x = 14\)[/tex] y [tex]\(y = 6\)[/tex]. Ahora calculamos [tex]\(x^2\)[/tex] e [tex]\(y^2\)[/tex]:
[tex]\[ x^2 = 14^2 = 196 \][/tex]
[tex]\[ y^2 = 6^2 = 36 \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ x^2 - y^2 = 196 - 36 = 160 \][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\(\left(x^2 - y^2\right)\)[/tex] es [tex]\(160\)[/tex].
La respuesta correcta es:
D) 160
