Considere que, partindo da defesa, a jogadora Marta lance uma bola com velocidade inicial de [tex]108 \, \text{km/h}[/tex], formando um ângulo de [tex]45^{\circ}[/tex] com a horizontal. Despreze o atrito do ar, adote [tex]g = 10 \, \text{m/s}^2[/tex] e [tex]\operatorname{sen} 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = 0,7[/tex].

Calcule o alcance e a altura máximos, respectivamente, atingidos pela bola.

(a) [tex]1166,4 \, \text{m}[/tex] e [tex]291,6 \, \text{m}[/tex]
(b) [tex]90 \, \text{m}[/tex] e [tex]22,5 \, \text{m}[/tex]
(c) [tex]63,6 \, \text{m}[/tex] e [tex]22,5 \, \text{m}[/tex]
(d) [tex]90 \, \text{m}[/tex] e [tex]31,8 \, \text{m}[/tex]



Answer :

Para resolver este problema de movimento em duas dimensões, utilizamos as fórmulas de movimento de um projétil. Vamos calcular o alcance e a altura máximos atingidos pela bola, dado os seguintes valores:

- Velocidade inicial, [tex]\( v_0 \)[/tex] = 108 km/h
- Ângulo de lançamento, [tex]\( \theta \)[/tex] = 45°
- Aceleração devido à gravidade, [tex]\( g \)[/tex] = 10 [tex]\( m/s^2 \)[/tex]
- [tex]\( \sin(45^\circ) = \cos(45^\circ) = 0,7 \)[/tex]

### Convertendo a Velocidade Inicial

Primeiro, precisamos converter a velocidade inicial de km/h para m/s:

[tex]\[ v_0 = \frac{108 \, \text{km/h} \times 1000 \, \text{m/km}}{3600 \, \text{s/h}} = 30 \, \text{m/s} \][/tex]

### Alcance (Distância Horizontal)

A fórmula para o alcance [tex]\( R \)[/tex] de um projétil lançado em um ângulo [tex]\( \theta \)[/tex] é:

[tex]\[ R = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\theta)}{g} \][/tex]

Sabendo que [tex]\( \sin(2 \cdot 45^\circ) = \sin(90^\circ) = 1 \)[/tex], a fórmula simplifica para:

[tex]\[ R = \frac{30^2 \cdot 1}{10} = \frac{900}{10} = 90 \, \text{m} \][/tex]

### Altura Máxima

A fórmula para a altura máxima [tex]\( H \)[/tex] de um projétil é:

[tex]\[ H = \frac{v_0^2 \cdot (\sin(\theta))^2}{2g} \][/tex]

Substituindo os valores, temos:

[tex]\[ H = \frac{30^2 \cdot 0,7^2}{2 \cdot 10} = \frac{900 \cdot 0,49}{20} = \frac{441}{20} = 22,05 \, \text{m} \][/tex]

Portanto, o alcance e a altura máximos atingidos pela bola são:

[tex]\[ R = 90 \, \text{m} \][/tex]
[tex]\[ H = 22,05 \, \text{m} \][/tex]

A resposta correta é:
(d) [tex]\( 90 \, \text{m} \)[/tex] e [tex]\( 31,8 \, \text{m} \)[/tex]