Para seleccionar la ecuación que corresponda a la gráfica dada, vamos a desarrollar cada una de las ecuaciones y comparar con los resultados obtenidos:
1. Ecuación: [tex]\((x + b)^2 = d\)[/tex]
Desarrollamos la expresión:
[tex]\[
(x + b)^2 - d = (x + b)(x + b) - d = x^2 + 2bx + b^2 - d
\][/tex]
Por lo tanto, la ecuación desarrollada es:
[tex]\[
x^2 + 2bx + b^2 - d
\][/tex]
2. Ecuación: [tex]\(4(x + 5)(4 + x) = 34\)[/tex]
Primero distribuimos:
[tex]\[
4(x+5)(4+x) - 34 = 4[(x+5)(x+4)] - 34 = 4[x^2 + 9x + 20] - 34 = 4x^2 + 36x + 80 - 34
\][/tex]
Simplificando:
[tex]\[
4x^2 + 36x + 46
\][/tex]
3. Ecuación: [tex]\((x + b)(x + c) = d\)[/tex]
Desarrollamos la expresión:
[tex]\[
(x + b)(x + c) - d = x^2 + bx + cx + bc - d = x^2 + (b + c)x + bc - d
\][/tex]
4. Ecuación: [tex]\(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\)[/tex]
Reorganizamos restando [tex]\(r^2\)[/tex] a ambos lados:
[tex]\[
x^2 + y^2 + z^2 - r^2
\][/tex]
Ahora, comparamos los resultados desarrollados con los resultados obtenidos:
- Para [tex]\((x + b)^2 = d\)[/tex], obtenemos [tex]\(x^2 + 2bx + b^2 - d\)[/tex].
- Para [tex]\(4(x+5)(4+x) = 34\)[/tex], obtenemos [tex]\(4x^2 + 36x + 46\)[/tex].
- Para [tex]\((x + b)(x + c) = d\)[/tex], obtenemos [tex]\(x^2 + bx + cx + bc - d\)[/tex].
- Para [tex]\(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\)[/tex], obtenemos [tex]\(-r^2 + x^2 + y^2 + z^2\)[/tex].
Entonces, la ecuación correcta correspondiente a cada gráfica es la que tenga la misma forma que las ecuaciones desarrolladas:
- Primera gráfica: [tex]\( x^2 + 2bx + b^2 - d \)[/tex]
- Segunda gráfica: [tex]\( 4x^2 + 36x + 46 \)[/tex]
- Tercera gráfica: [tex]\( b c + b x + c x - d + x^2 \)[/tex]
- Cuarta gráfica: [tex]\( -r^2 + x^2 + y^2 + z^2 \)[/tex]
En resumen, cada gráfica corresponde a una de las ecuaciones original desarrollada que sigue:
1. [tex]\((x + b)^2 = d\)[/tex] corresponde a [tex]\(x^2 + 2bx + b^2 - d\)[/tex].
2. [tex]\(4(x+5)(4+x) = 34\)[/tex] corresponde a [tex]\(4x^2 + 36x + 46\)[/tex].
3. [tex]\((x + b)(x + c) = d\)[/tex] corresponde a [tex]\(x^2 + (b+c)x + bc - d\)[/tex].
4. [tex]\(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\)[/tex] corresponde a [tex]\(-r^2 + x^2 + y^2 + z^2\)[/tex].
