Para resolver el problema planteado, vamos a proceder paso a paso.
### Paso 1: Convertir el número decimal periódico a una fracción
La ecuación que tenemos es:
[tex]\[
\frac{a}{5} + \frac{b}{11} = 1.\overline{36}
\][/tex]
Primero, convirtamos [tex]\(1.\overline{36}\)[/tex] a una fracción. Sabemos que:
[tex]\[
1.\overline{36} = 1 + 0.\overline{36}
\][/tex]
Llamemos [tex]\(x\)[/tex] a [tex]\(0.\overline{36}\)[/tex]. Así que:
[tex]\[
x = 0.\overline{36}
\][/tex]
Multiplicamos [tex]\(x\)[/tex] por 100 (porque el período tiene dos dígitos):
[tex]\[
100x = 36.\overline{36}
\][/tex]
Restamos [tex]\(x = 0.\overline{36}\)[/tex] de la ecuación anterior:
[tex]\[
100x - x = 36.\overline{36} - 0.\overline{36}
\][/tex]
[tex]\[
99x = 36
\][/tex]
[tex]\[
x = \frac{36}{99}
\][/tex]
Simplificamos la fracción dividiendo por el máximo común divisor de 36 y 99, que es 9:
[tex]\[
x = \frac{36 \div 9}{99 \div 9} = \frac{4}{11}
\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
1.\overline{36} = 1 + \frac{4}{11} = \frac{11}{11} + \frac{4}{11} = \frac{15}{11}
\][/tex]
Ahora, nuestra ecuación original se convierte en:
[tex]\[
\frac{a}{5} + \frac{b}{11} = \frac{15}{11}
\][/tex]
### Paso 2: Despejar [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex]
Multiplicamos toda la ecuación por 55 (el mínimo común múltiplo de 5 y 11) para deshacernos de los denominadores:
[tex]\[
55 \left( \frac{a}{5} + \frac{b}{11} \right) = 55 \left( \frac{15}{11} \right)
\][/tex]
Simplificando ambos lados:
[tex]\[
11a + 5b = 75
\][/tex]
### Paso 3: Encontrar valores naturales para [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex]
Como [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] son números naturales, busquemos [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] que cumplan con esta ecuación. Probemos con valores naturales:
- Si [tex]\(a = 5\)[/tex]:
[tex]\[
11(5) + 5b = 75
\][/tex]
[tex]\[
55 + 5b = 75
\][/tex]
[tex]\[
5b = 20
\][/tex]
[tex]\[
b = 4
\][/tex]
Hemos encontrado un par que satisface la ecuación: [tex]\(a = 5\)[/tex] y [tex]\(b = 4\)[/tex].
### Paso 4: Calcular [tex]\(4a + 5b\)[/tex]
Sustituimos [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex] en la expresión [tex]\(4a + 5b\)[/tex]:
[tex]\[
4a + 5b = 4(5) + 5(4) = 20 + 20 = 40
\][/tex]
### Respuesta
El valor de [tex]\(4a + 5b\)[/tex] es [tex]\(\boxed{40}\)[/tex].
