Claro, vamos a analizar y determinar la fracción generatriz para los decimales dados uno a uno.
### I. [tex]\(0.32\)[/tex]
Para convertir el decimal [tex]\(0.32\)[/tex] a una fracción:
1. Escribir el número con el denominador de 100 (porque hay dos decimales): [tex]\( \frac{32}{100} \)[/tex].
2. Simplificar la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor, que es 4:
[tex]\[
\frac{32 \div 4}{100 \div 4} = \frac{8}{25}
\][/tex]
Entonces, la fracción generatriz de [tex]\(0.32\)[/tex] es [tex]\( \frac{8}{25} \)[/tex].
### II. [tex]\(0, \overline{1}\)[/tex]
Para convertir el decimal periódico [tex]\(0. \overline{1}\)[/tex] a una fracción:
1. Denotamos [tex]\( x = 0. \overline{1} \)[/tex].
2. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 10 para desplazar el período:
[tex]\[
10x = 1. \overline{1}
\][/tex]
3. Restamos la ecuación original de esta nueva ecuación:
[tex]\[
10x - x = 1. \overline{1} - 0. \overline{1}
\][/tex]
[tex]\[
9x = 1
\][/tex]
4. Despejamos [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{1}{9}
\][/tex]
Entonces, la fracción generatriz de [tex]\(0, \overline{1}\)[/tex] es [tex]\(\frac{1}{9}\)[/tex].
### III. [tex]\(0,2 \overline{3}\)[/tex]
Para convertir el decimal periódico [tex]\(0.2 \overline{3}\)[/tex] a una fracción:
1. Denotamos [tex]\( x = 0.2 \overline{3} \)[/tex].
2. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 10 para desplazar un dígito decimal:
[tex]\[
10x = 2. \overline{3}
\][/tex]
3. Multiplicamos ambos lados nuevamente por 10 para desplazar el periodo completo:
[tex]\[
100x = 23.3 \overline{3}
\][/tex]
4. Restamos la ecuación de [tex]\(10x \)[/tex] de esta nueva ecuación:
[tex]\[
100x - 10x = 23. \overline{3} - 2. \overline{3}
\][/tex]
[tex]\[
90x = 21
\][/tex]
5. Despejamos [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{21}{90}
\][/tex]
Simplificamos dividiendo el numerador y denominador por su máximo común divisor, que es 3:
[tex]\[
x = \frac{21 \div 3}{90 \div 3} = \frac{7}{30}
\][/tex]
Entonces, la fracción generatriz de [tex]\(0.2 \overline{3}\)[/tex] es [tex]\(\frac{7}{30}\)[/tex].
### IV. [tex]\(17, \overline{36}\)[/tex]
Para convertir el decimal periódico [tex]\(17. \overline{36}\)[/tex] a una fracción:
1. Denotamos [tex]\( x = 17. \overline{36} \)[/tex].
2. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 100 para desplazar el período:
[tex]\[
100x = 1736. \overline{36}
\][/tex]
3. Restamos la ecuación original de esta nueva ecuación:
[tex]\[
100x - x = 1736. \overline{36} - 17. \overline{36}
\][/tex]
[tex]\[
99x = 1719
\][/tex]
4. Despejamos [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{1719}{99}
\][/tex]
Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y denominador por su máximo común divisor, que es 9:
[tex]\[
x = \frac{1719 \div 9}{99 \div 9} = \frac{191}{11}
\][/tex]
Entonces, la fracción generatriz de [tex]\(17. \overline{36}\)[/tex] es [tex]\(\frac{191}{11}\)[/tex].
En resumen, las fracciones generatrices son:
I. [tex]\(\frac{8}{25}\)[/tex]
II. [tex]\(\frac{1}{9}\)[/tex]
III. [tex]\(\frac{7}{30}\)[/tex]
IV. [tex]\(\frac{191}{11}\)[/tex]
