Answer :
Para resolver el sistema de ecuaciones lineales:
[tex]\[ \left\{ \begin{aligned} y + z &= -2 \\ -2x + y - z &= 6 \\ 5x + y + 6z &= 10 \end{aligned} \right. \][/tex]
seguimos los siguientes pasos:
1. Intercambiamos las ecuaciones para facilitar la eliminación de la variable [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ \left\{ \begin{aligned} 5x + y + 6z &= 10 \\ -2x + y - z &= 6 \\ y + z &= -2 \end{aligned} \right. \][/tex]
2. Mantenemos fija la primera ecuación y eliminamos [tex]\( x \)[/tex] de la segunda ecuación. Para ello, multiplicamos la primera ecuación por [tex]\( k = \frac{2}{5} \)[/tex]:
[tex]\[ \left(\frac{2}{5}\right) \cdot (5x + y + 6z) = \left(\frac{2}{5}\right) \cdot 10 \][/tex]
[tex]\[ 2x + \left(\frac{2}{5}\right)y + \left(\frac{12}{5}\right)z = 4 \][/tex]
3. Sumamos esta ecuación a la segunda ecuación original para eliminar [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ -2x + y - z + 2x + \left(\frac{2}{5}\right)y + \left(\frac{12}{5}\right)z = 6 + 4 \][/tex]
[tex]\[ y + \left(\frac{2}{5}\right)y - z + \left(\frac{12}{5}\right)z = 10 \][/tex]
4. Combinamos términos semejantes:
[tex]\[ \left(1 + \frac{2}{5}\right)y + \left(-1 + \frac{12}{5}\right)z = 10 \][/tex]
[tex]\[ \left(\frac{5}{5} + \frac{2}{5}\right)y + \left(\frac{-5}{5} + \frac{12}{5}\right)z = 10 \][/tex]
[tex]\[ \left(\frac{7}{5}\right)y + \left(\frac{7}{5}\right)z = 10 \][/tex]
5. Simplificamos esta ecuación:
[tex]\[ \left(\frac{7}{5}\right)(y + z) = 10 \][/tex]
6. Eliminamos [tex]\( y \)[/tex] de la tercera ecuación. Recordamos que:
[tex]\[ y + z = -2 \][/tex]
Sustituimos esta igualdad en la ecuación anterior:
[tex]\[ \left(\frac{7}{5}\right)(-2) = 10 \][/tex]
7. Simplificamos la ecuación resultante:
[tex]\[ -\frac{14}{5} = 10 \][/tex]
lo cual es una contradicción, ya que [tex]\(-\frac{14}{5}\)[/tex] no es igual a 10. Esto indica que el sistema de ecuaciones tiene una inconsistencia.
La tercera igualdad obtenida:
[tex]\[ 0 = -\frac{64}{7} \][/tex]
claramente muestra una contradicción, porque 0 no puede ser igual a un número negativo como [tex]\(-\frac{64}{7}\)[/tex].
Conclusión:
La contradicción en la tercera ecuación indica que el sistema de ecuaciones no tiene solución. Este sistema es inconsistente.
[tex]\[ \left\{ \begin{aligned} y + z &= -2 \\ -2x + y - z &= 6 \\ 5x + y + 6z &= 10 \end{aligned} \right. \][/tex]
seguimos los siguientes pasos:
1. Intercambiamos las ecuaciones para facilitar la eliminación de la variable [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ \left\{ \begin{aligned} 5x + y + 6z &= 10 \\ -2x + y - z &= 6 \\ y + z &= -2 \end{aligned} \right. \][/tex]
2. Mantenemos fija la primera ecuación y eliminamos [tex]\( x \)[/tex] de la segunda ecuación. Para ello, multiplicamos la primera ecuación por [tex]\( k = \frac{2}{5} \)[/tex]:
[tex]\[ \left(\frac{2}{5}\right) \cdot (5x + y + 6z) = \left(\frac{2}{5}\right) \cdot 10 \][/tex]
[tex]\[ 2x + \left(\frac{2}{5}\right)y + \left(\frac{12}{5}\right)z = 4 \][/tex]
3. Sumamos esta ecuación a la segunda ecuación original para eliminar [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ -2x + y - z + 2x + \left(\frac{2}{5}\right)y + \left(\frac{12}{5}\right)z = 6 + 4 \][/tex]
[tex]\[ y + \left(\frac{2}{5}\right)y - z + \left(\frac{12}{5}\right)z = 10 \][/tex]
4. Combinamos términos semejantes:
[tex]\[ \left(1 + \frac{2}{5}\right)y + \left(-1 + \frac{12}{5}\right)z = 10 \][/tex]
[tex]\[ \left(\frac{5}{5} + \frac{2}{5}\right)y + \left(\frac{-5}{5} + \frac{12}{5}\right)z = 10 \][/tex]
[tex]\[ \left(\frac{7}{5}\right)y + \left(\frac{7}{5}\right)z = 10 \][/tex]
5. Simplificamos esta ecuación:
[tex]\[ \left(\frac{7}{5}\right)(y + z) = 10 \][/tex]
6. Eliminamos [tex]\( y \)[/tex] de la tercera ecuación. Recordamos que:
[tex]\[ y + z = -2 \][/tex]
Sustituimos esta igualdad en la ecuación anterior:
[tex]\[ \left(\frac{7}{5}\right)(-2) = 10 \][/tex]
7. Simplificamos la ecuación resultante:
[tex]\[ -\frac{14}{5} = 10 \][/tex]
lo cual es una contradicción, ya que [tex]\(-\frac{14}{5}\)[/tex] no es igual a 10. Esto indica que el sistema de ecuaciones tiene una inconsistencia.
La tercera igualdad obtenida:
[tex]\[ 0 = -\frac{64}{7} \][/tex]
claramente muestra una contradicción, porque 0 no puede ser igual a un número negativo como [tex]\(-\frac{64}{7}\)[/tex].
Conclusión:
La contradicción en la tercera ecuación indica que el sistema de ecuaciones no tiene solución. Este sistema es inconsistente.
