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Completa la solución, si existe, del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

[tex]\[
(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \quad \text{tal que} \quad \left\{\begin{aligned}
y + z & = -2 \\
-2x + y - z & = 6 \\
5x + y + 6z & = 10
\end{aligned}\right.
\][/tex]

Intercambia las ecuaciones de la siguiente manera:

[tex]\[
\left\{\begin{aligned}
5x + y + 6z & = 10 \\
-2x + y - z & = 6 \\
y + z & = -2
\end{aligned}\right.
\][/tex]

Mantén fija la primera ecuación. Elimina [tex]\( x \)[/tex] de la segunda ecuación. Para ello, multiplica la primera ecuación por

[tex]\[
k = \frac{2}{5}
\][/tex]

Elimina [tex]\( y \)[/tex] de la tercera ecuación.

Verifica si obtienes el siguiente sistema:

[tex]\[
\left\{\begin{aligned}
5x + y + 6z & = 10 \\
\frac{7}{5}y + \frac{7}{5}z & = 10 \\
0 & = -\frac{64}{7}
\end{aligned}\right.
\][/tex]

¿Qué indica la tercera igualdad?
¿Qué sucede con la solución del sistema?



Answer :

GinnyAnswer
Para resolver el sistema de ecuaciones lineales:

[tex]\[ \left\{ \begin{aligned} y + z &= -2 \\ -2x + y - z &= 6 \\ 5x + y + 6z &= 10 \end{aligned} \right. \][/tex]

seguimos los siguientes pasos:

1. Intercambiamos las ecuaciones para facilitar la eliminación de la variable [tex]\( x \)[/tex]:

[tex]\[ \left\{ \begin{aligned} 5x + y + 6z &= 10 \\ -2x + y - z &= 6 \\ y + z &= -2 \end{aligned} \right. \][/tex]

2. Mantenemos fija la primera ecuación y eliminamos [tex]\( x \)[/tex] de la segunda ecuación. Para ello, multiplicamos la primera ecuación por [tex]\( k = \frac{2}{5} \)[/tex]:

[tex]\[ \left(\frac{2}{5}\right) \cdot (5x + y + 6z) = \left(\frac{2}{5}\right) \cdot 10 \][/tex]

[tex]\[ 2x + \left(\frac{2}{5}\right)y + \left(\frac{12}{5}\right)z = 4 \][/tex]

3. Sumamos esta ecuación a la segunda ecuación original para eliminar [tex]\( x \)[/tex]:

[tex]\[ -2x + y - z + 2x + \left(\frac{2}{5}\right)y + \left(\frac{12}{5}\right)z = 6 + 4 \][/tex]

[tex]\[ y + \left(\frac{2}{5}\right)y - z + \left(\frac{12}{5}\right)z = 10 \][/tex]

4. Combinamos términos semejantes:

[tex]\[ \left(1 + \frac{2}{5}\right)y + \left(-1 + \frac{12}{5}\right)z = 10 \][/tex]

[tex]\[ \left(\frac{5}{5} + \frac{2}{5}\right)y + \left(\frac{-5}{5} + \frac{12}{5}\right)z = 10 \][/tex]

[tex]\[ \left(\frac{7}{5}\right)y + \left(\frac{7}{5}\right)z = 10 \][/tex]

5. Simplificamos esta ecuación:

[tex]\[ \left(\frac{7}{5}\right)(y + z) = 10 \][/tex]

6. Eliminamos [tex]\( y \)[/tex] de la tercera ecuación. Recordamos que:

[tex]\[ y + z = -2 \][/tex]

Sustituimos esta igualdad en la ecuación anterior:

[tex]\[ \left(\frac{7}{5}\right)(-2) = 10 \][/tex]

7. Simplificamos la ecuación resultante:

[tex]\[ -\frac{14}{5} = 10 \][/tex]

lo cual es una contradicción, ya que [tex]\(-\frac{14}{5}\)[/tex] no es igual a 10. Esto indica que el sistema de ecuaciones tiene una inconsistencia.

La tercera igualdad obtenida:

[tex]\[ 0 = -\frac{64}{7} \][/tex]

claramente muestra una contradicción, porque 0 no puede ser igual a un número negativo como [tex]\(-\frac{64}{7}\)[/tex].

Conclusión:

La contradicción en la tercera ecuación indica que el sistema de ecuaciones no tiene solución. Este sistema es inconsistente.

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