¡Claro, vamos a descomponer cada expresión en factores primos paso a paso!
### Para la expresión [tex]\(a^2 - 2ab + b^2\)[/tex]:
Esta es una forma conocida de un trinomio cuadrado perfecto:
1. Observamos que la expresión tiene la forma [tex]\(a^2 - 2ab + b^2\)[/tex].
2. Reconocemos esta expresión como [tex]\((a - b)^2\)[/tex], ya que:
[tex]\[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
\][/tex]
Así que, la factorización de [tex]\(a^2 - 2ab + b^2\)[/tex] es:
[tex]\[
(a - b)^2
\][/tex]
### Para la expresión [tex]\(2 + 2ab + b^2\)[/tex]:
Vamos a intentar factorizar esta expresión:
1. Primero, reescribimos la expresión en una forma similar a la anterior, pero observamos que incluye un término constante.
2. En este caso, no sigue una forma sencilla de un trinomio cuadrado perfecto como en el primer caso.
3. Realizando una inspección, observamos que se puede reorganizar de la forma:
[tex]\[
b^2 + 2ab + 2
\][/tex]
Sin embargo, no es un trinomio cuadrado perfecto directo.
Así que, la factorización de [tex]\(2 + 2ab + b^2\)[/tex] queda tal cual:
[tex]\[
2ab + b^2 + 2
\][/tex]
### Para la expresión [tex]\(1 - 2a^3 + a^6\)[/tex]:
Esta expresión es un poco más complicada, pero aún podemos factorizarla:
1. Reconocemos que [tex]\(a^6 - 2a^3 + 1\)[/tex] es un trinomio en términos de [tex]\(a^3\)[/tex]. Para factorizarlo, utilizamos una técnica de substitución:
2. Notemos que [tex]\(a^6 = (a^3)^2\)[/tex] y [tex]\(1 = (1)^2\)[/tex], por lo que la expresión se puede ver como:
[tex]\[
(a^3)^2 - 2a^3 \cdot 1 + 1^2
\][/tex]
3. Esto es un trinomio cuadrado perfecto de la forma [tex]\((x - y)^2\)[/tex], donde [tex]\(x = a^3\)[/tex] y [tex]\(y = 1\)[/tex]:
[tex]\[
(a^3 - 1)^2
\][/tex]
4. Luego, factorizamos [tex]\(a^3 - 1\)[/tex] con la fórmula de la diferencia de cubos:
[tex]\[
a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)
\][/tex]
5. Por lo tanto, la factorización completa es:
[tex]\[
(a - 1)^2 (a^2 + a + 1)^2
\][/tex]
Así que, la factorización de [tex]\(1 - 2a^3 + a^6\)[/tex] es:
[tex]\[
(a - 1)^2 (a^2 + a + 1)^2
\][/tex]
### Resumen de la factorización:
1. [tex]\(a^2 - 2ab + b^2\)[/tex]
[tex]\[
(a - b)^2
\][/tex]
2. [tex]\(2 + 2ab + b^2\)[/tex]
[tex]\[
2ab + b^2 + 2
\][/tex]
3. [tex]\(1 - 2a^3 + a^6\)[/tex]
[tex]\[
(a - 1)^2 (a^2 + a + 1)^2
\][/tex]
¡Espero que esto te haya ayudado a entender la factorización de estas expresiones algebráicas!
