Expresar con signo radical y exponentes positivos [tex]\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}[/tex]:

A) [tex]\sqrt[5]{x}[/tex]

B) [tex]\sqrt[6]{x}[/tex]

C) [tex]\frac{\sqrt[6]{x^5}}{x}[/tex]

D) [tex]\frac{1}{\sqrt[5]{x}}[/tex]



Answer :

Para resolver la expresión [tex]\(\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}\)[/tex] con signos radicales y exponentes positivos, sigamos los siguientes pasos detalladamente.

### Paso 1: Simplificación de exponentes

Primero, simplifiquemos la expresión inicial usando propiedades de los exponentes. La expresión que tenemos es:

[tex]\[ \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} \][/tex]

Utilizando la propiedad de los exponentes [tex]\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)[/tex], simplifiquemos la expresión:

[tex]\[ \left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = x^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = x^{-\frac{1}{6}} \][/tex]

### Paso 2: Convertir el exponente negativo en positivo

Ahora, nuestra expresión es [tex]\(x^{-\frac{1}{6}}\)[/tex]. Para expresarla con un exponente positivo, recordemos que [tex]\(a^{-b} = \frac{1}{a^b}\)[/tex]. Entonces, escribimos:

[tex]\[ x^{-\frac{1}{6}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}} \][/tex]

### Paso 3: Expresar con signo radical

La expresión [tex]\(x^{\frac{1}{6}}\)[/tex] puede escribirse en forma radical como [tex]\(\sqrt[6]{x}\)[/tex]. Por lo tanto, nuestra expresión se convierte en:

[tex]\[ \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}} = \frac{1}{\sqrt[6]{x}} \][/tex]

Así que, [tex]\(\left(x^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}\)[/tex] expresada con signo radical y exponente positivo es:

[tex]\[ \frac{1}{\sqrt[6]{x}} \][/tex]

### Paso 4: Comparación con las opciones dadas

Al comparar con las opciones proporcionadas:

A) [tex]\(\sqrt[5]{x}\)[/tex]

B) [tex]\(\sqrt[6]{x}\)[/tex]

C) [tex]\(\frac{\sqrt[6]{x^5}}{x}\)[/tex]

D) [tex]\(\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\)[/tex]

Vemos que la correcta es:

### Opción correcta:

D) [tex]\(\frac{1}{\sqrt[6]{x}}\)[/tex]

Por lo tanto, la respuesta es la opción D.