Para resolver cuántos números pares de la forma [tex]\(\overline{m\left( \frac{m}{3} \right) n (n+6) p}\)[/tex] existen, vamos a seguir estos pasos:
1. Conocer los valores posibles para m, n y p:
- [tex]\(m\)[/tex] puede ser cualquier número de un dígito. Entonces, [tex]\(m\)[/tex] puede tomar valores de 1 a 9.
- [tex]\(n\)[/tex] también puede ser cualquier número de un dígito. Luego, [tex]\(n\)[/tex] puede tomar valores de 0 a 9.
- [tex]\(p\)[/tex] puede ser cualquier número de un dígito. Entonces, [tex]\(p\)[/tex] puede tomar valores de 0 a 9.
2. Cálculo de [tex]\(\frac{m}{3}\)[/tex] y verificación:
- [tex]\(m\)[/tex] debe ser tal que [tex]\(\frac{m}{3}\)[/tex] sea un valor entero (ya que se forma parte del número). Los valores de [tex]\(m\)[/tex] posibles bajo esta condición son 1, 3, 6, y 9.
3. Formar el número utilizando la fórmula invertida:
- Basándonos en la fórmula [tex]\(\overline{m \left( \frac{m}{3} \right) n (n+6) p}\)[/tex], formamos el número integrando [tex]\(m\)[/tex], [tex]\(\frac{m}{3}\)[/tex], [tex]\(n\)[/tex], [tex]\(n+6\)[/tex] y [tex]\(p\)[/tex].
4. Verificar si el número es par:
- Para un número ser par, su último dígito [tex]\(p\)[/tex] debe ser par. Los dígitos pares posibles para [tex]\(p\)[/tex] son 0, 2, 4, 6, 8.
Vamos a sumar el conteo de todos esos números que cumplen con esta propiedad:
- [tex]\(m\)[/tex] tiene 4 posibles valores: 1, 3, 6, 9.
- [tex]\(n\)[/tex] tiene 10 posibles valores: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
- Para que el número sea par, [tex]\(p\)[/tex] tiene 5 posibles valores: 0, 2, 4, 6, 8.
Multiplicamos las opciones:
- Opciones para [tex]\(m\)[/tex]: 4.
- Opciones para [tex]\(n\)[/tex]: 10.
- Opciones para [tex]\(p\)[/tex]: 5.
El número total de números pares que siguen la forma dada es [tex]\(4 \times 10 \times 5 = 200\)[/tex].
Sumamos todas estas combinaciones y obtenemos:
[tex]\[ \text{Cantidad de números pares} = 200. \][/tex]
La cantidad de números pares de la forma [tex]\(\overline{m \left( \frac{m}{3} \right) n (n+6) p}\)[/tex] es [tex]\(\boxed{200}\)[/tex].
