4. Determina la pendiente y la ecuación de la recta que pasa por los puntos [tex]\( P_1(-3,4) \)[/tex] y [tex]\( P_2(-6, -2) \)[/tex].

A. [tex]\( m=2, \quad y=2x+10 \)[/tex]

B. [tex]\( m=-2, \quad y=-2x+13 \)[/tex]

C. [tex]\( m=\frac{3}{6}, \quad y=\frac{3x}{6}+2 \)[/tex]

D. [tex]\( m=2, \quad y=2x+2 \)[/tex]



Answer :

Claro, vamos a resolver el problema de determinar la pendiente y la ecuación de la recta que pasa por los puntos [tex]\(P_1(-3, 4)\)[/tex] y [tex]\(P_2(-6, -2)\)[/tex].

#### 1. Determinación de la pendiente [tex]\(m\)[/tex]:

La fórmula para calcular la pendiente [tex]\(m\)[/tex] de una línea que pasa por dos puntos [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2)\)[/tex] es:

[tex]\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \][/tex]

Para los puntos [tex]\((x_1, y_1) = (-3, 4)\)[/tex] y [tex]\((x_2, y_2) = (-6, -2)\)[/tex]:

[tex]\[ m = \frac{-2 - 4}{-6 - (-3)} \][/tex]
[tex]\[ m = \frac{-6}{-3} \][/tex]
[tex]\[ m = 2 \][/tex]

#### 2. Determinación de la ecuación de la recta:

Con la pendiente [tex]\(m = 2\)[/tex], podemos usar la forma punto-pendiente [tex]\( y - y_1 = m(x - x_1) \)[/tex] para encontrar la ecuación de la recta. Utilizamos uno de los puntos dados, digamos [tex]\(P_1(-3, 4)\)[/tex].

[tex]\[ y - y_1 = m(x - x_1) \][/tex]
[tex]\[ y - 4 = 2(x + 3) \][/tex]
Desarrollamos el lado derecho:

[tex]\[ y - 4 = 2x + 6 \][/tex]

Sumamos 4 a ambos lados de la ecuación para obtenerla en la forma [tex]\( y = mx + b \)[/tex]:

[tex]\[ y = 2x + 10 \][/tex]

Por tanto, la ecuación de la recta es:

[tex]\[ y = 2x + 10 \][/tex]

En resumen:
- La pendiente [tex]\(m\)[/tex] de la recta es [tex]\(2\)[/tex].
- La ecuación de la recta en su forma general es [tex]\( y = 2x + 10 \)[/tex].

Por lo tanto, la respuesta correcta del ejercicio es:
[tex]\[ m = 2, \quad y = 2x + 10 \][/tex]