Encuentra la ecuación de la elipse con focos en [tex]$F^{\prime}(2,-3)$[/tex] y [tex]$F(2,3)$[/tex] y excentricidad igual a [tex]$\frac{1}{2}$[/tex].

A. [tex]$4x^2 + 3y^2 - 16x - 92 = 0$[/tex]
B. [tex]$4x^2 + 4y^2 + 26x + 21 = 0$[/tex]
C. [tex]$14x^2 + 24y^2 - 26x + 21 = 0$[/tex]
D. [tex]$4x^2 + 3y^2 + 16x - 72 = 0$[/tex]



Answer :

Para encontrar la ecuación de la elipse con los focos en [tex]\(F^{\prime}(2, -3)\)[/tex] y [tex]\(F(2, 3)\)[/tex] y con una excentricidad igual a [tex]\( \frac{1}{2} \)[/tex], seguimos los siguientes pasos:

1. Determinar el centro de la elipse:
El centro de la elipse (h, k) se encuentra en el punto medio de los focos. Calculamos el punto medio de [tex]\(F^{\prime}(2, -3)\)[/tex] y [tex]\(F(2, 3)\)[/tex]:

[tex]\[ h = \frac{2 + 2}{2} = 2 \quad \text{y} \quad k = \frac{-3 + 3}{2} = 0 \][/tex]

Por lo tanto, el centro de la elipse es [tex]\((2, 0)\)[/tex].

2. Calcular la distancia focal [tex]\(2c\)[/tex]:
La distancia entre los focos se puede calcular como:

[tex]\[ 2c = \sqrt{(2-2)^2 + (3-(-3))^2} = \sqrt{0 + 6^2} = 6 \][/tex]

Por lo tanto, [tex]\(c = \frac{6}{2} = 3\)[/tex].

3. Relación entre [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex]:
Usamos la excentricidad ([tex]\(e\)[/tex]) para encontrar el valor de [tex]\(a\)[/tex]:

[tex]\[ e = \frac{c}{a} \implies a = \frac{c}{e} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6 \][/tex]

Entonces, [tex]\(a = 6\)[/tex].

4. Usar la relación [tex]\(a^{2} = b^{2} + c^{2}\)[/tex]:
Ya tenemos [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex]. Ahora podemos encontrar [tex]\(b\)[/tex]:

[tex]\[ a^2 = 6^2 = 36 \quad \text{y} \quad c^2 = 3^2 = 9 \][/tex]

[tex]\[ b^2 = a^2 - c^2 = 36 - 9 = 27 \][/tex]

5. Ecuación de la elipse en forma estándar:
La ecuación de la elipse con el centro en [tex]\((h, k)\)[/tex] es:

[tex]\[ \frac{(x - h)^2}{b^2} + \frac{(y - k)^2}{a^2} = 1 \][/tex]

Sustituimos [tex]\(h = 2\)[/tex], [tex]\(k = 0\)[/tex], [tex]\(a^2 = 36\)[/tex] y [tex]\(b^2 = 27\)[/tex]:

[tex]\[ \frac{(x - 2)^2}{27} + \frac{y^2}{36} = 1 \][/tex]

6. Convertir a la forma general:
Multiplicamos ambos lados por 972 para eliminar los denominadores:

[tex]\[ 36(x - 2)^2 + 27y^2 = 972 \][/tex]

Expandimos y simplificamos:

[tex]\[ 36(x^2 - 4x + 4) + 27y^2 = 972 \][/tex]

[tex]\[ 36x^2 - 144x + 144 + 27y^2 = 972 \][/tex]

[tex]\[ 36x^2 + 27y^2 - 144x + 144 = 972 \][/tex]

[tex]\[ 36x^2 + 27y^2 - 144x - 828 = 0 \][/tex]

[tex]\[ 4x^2 + 3y^2 - 16x - 92 = 0 \][/tex]

Comparando con las opciones dadas, la ecuación resultante es:

[tex]\[ 4x^2 + 3y^2 - 16x - 92 = 0 \][/tex]

Por lo tanto, la respuesta correcta es la primera opción:

[tex]\[ \boxed{4x^2 + 3y^2 - 16x - 92 = 0} \][/tex]