Para encontrar la ecuación de la elipse con los focos en [tex]\(F^{\prime}(2, -3)\)[/tex] y [tex]\(F(2, 3)\)[/tex] y con una excentricidad igual a [tex]\( \frac{1}{2} \)[/tex], seguimos los siguientes pasos:
1. Determinar el centro de la elipse:
El centro de la elipse (h, k) se encuentra en el punto medio de los focos. Calculamos el punto medio de [tex]\(F^{\prime}(2, -3)\)[/tex] y [tex]\(F(2, 3)\)[/tex]:
[tex]\[
h = \frac{2 + 2}{2} = 2 \quad \text{y} \quad k = \frac{-3 + 3}{2} = 0
\][/tex]
Por lo tanto, el centro de la elipse es [tex]\((2, 0)\)[/tex].
2. Calcular la distancia focal [tex]\(2c\)[/tex]:
La distancia entre los focos se puede calcular como:
[tex]\[
2c = \sqrt{(2-2)^2 + (3-(-3))^2} = \sqrt{0 + 6^2} = 6
\][/tex]
Por lo tanto, [tex]\(c = \frac{6}{2} = 3\)[/tex].
3. Relación entre [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex]:
Usamos la excentricidad ([tex]\(e\)[/tex]) para encontrar el valor de [tex]\(a\)[/tex]:
[tex]\[
e = \frac{c}{a} \implies a = \frac{c}{e} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6
\][/tex]
Entonces, [tex]\(a = 6\)[/tex].
4. Usar la relación [tex]\(a^{2} = b^{2} + c^{2}\)[/tex]:
Ya tenemos [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex]. Ahora podemos encontrar [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[
a^2 = 6^2 = 36 \quad \text{y} \quad c^2 = 3^2 = 9
\][/tex]
[tex]\[
b^2 = a^2 - c^2 = 36 - 9 = 27
\][/tex]
5. Ecuación de la elipse en forma estándar:
La ecuación de la elipse con el centro en [tex]\((h, k)\)[/tex] es:
[tex]\[
\frac{(x - h)^2}{b^2} + \frac{(y - k)^2}{a^2} = 1
\][/tex]
Sustituimos [tex]\(h = 2\)[/tex], [tex]\(k = 0\)[/tex], [tex]\(a^2 = 36\)[/tex] y [tex]\(b^2 = 27\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{(x - 2)^2}{27} + \frac{y^2}{36} = 1
\][/tex]
6. Convertir a la forma general:
Multiplicamos ambos lados por 972 para eliminar los denominadores:
[tex]\[
36(x - 2)^2 + 27y^2 = 972
\][/tex]
Expandimos y simplificamos:
[tex]\[
36(x^2 - 4x + 4) + 27y^2 = 972
\][/tex]
[tex]\[
36x^2 - 144x + 144 + 27y^2 = 972
\][/tex]
[tex]\[
36x^2 + 27y^2 - 144x + 144 = 972
\][/tex]
[tex]\[
36x^2 + 27y^2 - 144x - 828 = 0
\][/tex]
[tex]\[
4x^2 + 3y^2 - 16x - 92 = 0
\][/tex]
Comparando con las opciones dadas, la ecuación resultante es:
[tex]\[
4x^2 + 3y^2 - 16x - 92 = 0
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es la primera opción:
[tex]\[
\boxed{4x^2 + 3y^2 - 16x - 92 = 0}
\][/tex]
