3. ¿Cuál es el término de una progresión geométrica que se calcula con la expresión [tex][tex]$a_n = a_1 r^{21}$[/tex][/tex]?

A. El [tex]$22^{\circ}$[/tex] término
B. No se puede saber
C. El [tex]$27^{\circ}$[/tex] término
D. El [tex]$20^{\circ}$[/tex] término



Answer :

Para determinar qué término de una progresión geométrica está representado por la expresión [tex]\(a_n = a_1 r^{21}\)[/tex], es importante entender la fórmula general de los términos en una progresión geométrica.

La fórmula general para el n-ésimo término de una progresión geométrica es:
[tex]\[ a_n = a_1 r^{n-1} \][/tex]

En esta fórmula:

- [tex]\(a_1\)[/tex] es el primer término de la progresión.
- [tex]\(r\)[/tex] es la razón común.
- [tex]\(n-1\)[/tex] es el exponente al que está elevado el valor de la razón común [tex]\(r\)[/tex].

En el problema, tenemos la expresión [tex]\(a_n = a_1 r^{21}\)[/tex]. Queremos averiguar qué término [tex]\(n\)[/tex] de la progresión corresponde a esta expresión.

Comparando con la fórmula general:
[tex]\[a_n = a_1 r^{n-1}\][/tex]

Es claro que el exponente [tex]\(21\)[/tex] corresponde a [tex]\(n-1\)[/tex]. De aquí podemos plantear la ecuación:
[tex]\[n-1 = 21\][/tex]

Para encontrar el valor de [tex]\(n\)[/tex], simplemente sumamos 1 a ambos lados de la ecuación:
[tex]\[n = 21 + 1\][/tex]
[tex]\[n = 22\][/tex]

Por lo tanto, el término de la progresión geométrica que se calcula con la expresión [tex]\(a_n = a_1 r^{21}\)[/tex] es el 22º término. Así que la respuesta correcta es:
El [tex]$22^{\circ}$[/tex] término.