Answer :
¡Claro! Vamos a resolver cada uno de los polinomios, determinando su grado y su coeficiente principal y ordenándolos según las potencias decrecientes.
### a) Polinomio: [tex]\( 4x^3 - 1 + 3x^2 \)[/tex]
Primero, ordenamos el polinomio por potencias decrecientes de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ 4x^3 + 3x^2 - 1 \][/tex]
Ahora, identificamos el grado y el coeficiente principal:
- Grado: El mayor exponente de [tex]\( x \)[/tex] es 3, por lo que el grado del polinomio es 3.
- Coeficiente principal: El coeficiente del término con el mayor exponente es 4.
Así, el polinomio [tex]\( 4x^3 + 3x^2 - 1 \)[/tex] tiene grado 3 y coeficiente principal 4.
### b) Polinomio: [tex]\( \frac{1}{2}x^5 + x^6 \)[/tex]
Ordenamos el polinomio por potencias decrecientes de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x^6 + \frac{1}{2}x^5 \][/tex]
Identificamos el grado y el coeficiente principal:
- Grado: El mayor exponente de [tex]\( x \)[/tex] es 6, por lo que el grado del polinomio es 6.
- Coeficiente principal: El coeficiente del término con el mayor exponente es 1.
Así, el polinomio [tex]\( x^6 + \frac{1}{2}x^5 \)[/tex] tiene grado 6 y coeficiente principal 1.
### c) Polinomio: [tex]\( -2x + 3x^3 - \frac{2}{3}x^2 \)[/tex]
Ordenamos el polinomio por potencias decrecientes de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ 3x^3 - \frac{2}{3}x^2 - 2x \][/tex]
Identificamos el grado y el coeficiente principal:
- Grado: El mayor exponente de [tex]\( x \)[/tex] es 3, por lo que el grado del polinomio es 3.
- Coeficiente principal: El coeficiente del término con el mayor exponente es 3.
Así, el polinomio [tex]\( 3x^3 - \frac{2}{3}x^2 - 2x \)[/tex] tiene grado 3 y coeficiente principal 3.
### d) Polinomio: [tex]\( -\frac{x-4}{3} + \frac{4-x+x^3}{2} \)[/tex]
Primero, simplificamos el polinomio:
[tex]\[ -\frac{x-4}{3} + \frac{4-x+x^3}{2} \][/tex]
Distribuyamos:
[tex]\[ -\frac{x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{2} - \frac{x}{2} + \frac{x^3}{2} \][/tex]
Sumando términos semejantes:
[tex]\[ \frac{x^3}{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + 2 + \frac{4}{3} \][/tex]
Hacemos lo necesario para la ordenación y combinación de términos equivalentes:
[tex]\[ \frac{x^3}{2} - \frac{5x}{6} + \frac{10}{3} \][/tex]
Identificamos el grado y el coeficiente principal:
- Grado: El mayor exponente de [tex]\( x \)[/tex] es 3, por lo que el grado del polinomio es 3.
- Coeficiente principal: El coeficiente del término con el mayor exponente es [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex].
Así, el polinomio [tex]\(\frac{x^3}{2} - \frac{5x}{6} + \frac{10}{3}\)[/tex] tiene grado 3 y coeficiente principal [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex].
### Resumen
- a) [tex]\( 4x^3 + 3x^2 - 1 \)[/tex]: Grado 3, coeficiente principal 4.
- b) [tex]\( x^6 + \frac{1}{2}x^5 \)[/tex]: Grado 6, coeficiente principal 1.
- c) [tex]\( 3x^3 - \frac{2}{3}x^2 - 2x \)[/tex]: Grado 3, coeficiente principal 3.
- d) [tex]\( \frac{x^3}{2} - \frac{5x}{6} + \frac{10}{3} \)[/tex]: Grado 3, coeficiente principal [tex]\( \frac{1}{2} \)[/tex].
### a) Polinomio: [tex]\( 4x^3 - 1 + 3x^2 \)[/tex]
Primero, ordenamos el polinomio por potencias decrecientes de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ 4x^3 + 3x^2 - 1 \][/tex]
Ahora, identificamos el grado y el coeficiente principal:
- Grado: El mayor exponente de [tex]\( x \)[/tex] es 3, por lo que el grado del polinomio es 3.
- Coeficiente principal: El coeficiente del término con el mayor exponente es 4.
Así, el polinomio [tex]\( 4x^3 + 3x^2 - 1 \)[/tex] tiene grado 3 y coeficiente principal 4.
### b) Polinomio: [tex]\( \frac{1}{2}x^5 + x^6 \)[/tex]
Ordenamos el polinomio por potencias decrecientes de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x^6 + \frac{1}{2}x^5 \][/tex]
Identificamos el grado y el coeficiente principal:
- Grado: El mayor exponente de [tex]\( x \)[/tex] es 6, por lo que el grado del polinomio es 6.
- Coeficiente principal: El coeficiente del término con el mayor exponente es 1.
Así, el polinomio [tex]\( x^6 + \frac{1}{2}x^5 \)[/tex] tiene grado 6 y coeficiente principal 1.
### c) Polinomio: [tex]\( -2x + 3x^3 - \frac{2}{3}x^2 \)[/tex]
Ordenamos el polinomio por potencias decrecientes de [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ 3x^3 - \frac{2}{3}x^2 - 2x \][/tex]
Identificamos el grado y el coeficiente principal:
- Grado: El mayor exponente de [tex]\( x \)[/tex] es 3, por lo que el grado del polinomio es 3.
- Coeficiente principal: El coeficiente del término con el mayor exponente es 3.
Así, el polinomio [tex]\( 3x^3 - \frac{2}{3}x^2 - 2x \)[/tex] tiene grado 3 y coeficiente principal 3.
### d) Polinomio: [tex]\( -\frac{x-4}{3} + \frac{4-x+x^3}{2} \)[/tex]
Primero, simplificamos el polinomio:
[tex]\[ -\frac{x-4}{3} + \frac{4-x+x^3}{2} \][/tex]
Distribuyamos:
[tex]\[ -\frac{x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{4}{2} - \frac{x}{2} + \frac{x^3}{2} \][/tex]
Sumando términos semejantes:
[tex]\[ \frac{x^3}{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{2} + 2 + \frac{4}{3} \][/tex]
Hacemos lo necesario para la ordenación y combinación de términos equivalentes:
[tex]\[ \frac{x^3}{2} - \frac{5x}{6} + \frac{10}{3} \][/tex]
Identificamos el grado y el coeficiente principal:
- Grado: El mayor exponente de [tex]\( x \)[/tex] es 3, por lo que el grado del polinomio es 3.
- Coeficiente principal: El coeficiente del término con el mayor exponente es [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex].
Así, el polinomio [tex]\(\frac{x^3}{2} - \frac{5x}{6} + \frac{10}{3}\)[/tex] tiene grado 3 y coeficiente principal [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex].
### Resumen
- a) [tex]\( 4x^3 + 3x^2 - 1 \)[/tex]: Grado 3, coeficiente principal 4.
- b) [tex]\( x^6 + \frac{1}{2}x^5 \)[/tex]: Grado 6, coeficiente principal 1.
- c) [tex]\( 3x^3 - \frac{2}{3}x^2 - 2x \)[/tex]: Grado 3, coeficiente principal 3.
- d) [tex]\( \frac{x^3}{2} - \frac{5x}{6} + \frac{10}{3} \)[/tex]: Grado 3, coeficiente principal [tex]\( \frac{1}{2} \)[/tex].
