Answer :
¡Claro que sí! Vamos a determinar el grado y el coeficiente principal de los polinomios dados, y luego los ordenaremos según las potencias decrecientes de [tex]\(x\)[/tex].
#### a) [tex]\(4x^3 - 1 + 3x^2\)[/tex]
1. Reordenar: Primero, reordenamos el polinomio en términos decrecientes:
[tex]\[ 4x^3 + 3x^2 - 1 \][/tex]
2. Determinar Grado: El grado del polinomio es el exponente más alto de [tex]\(x\)[/tex], que en este caso es [tex]\(3\)[/tex].
3. Coeficiente Principal: El coeficiente principal es el coeficiente asociado al término de mayor grado, que es [tex]\(4\)[/tex].
Por lo tanto, el polinomio ordenado es [tex]\(4x^3 + 3x^2 - 1\)[/tex], su grado es [tex]\(3\)[/tex] y su coeficiente principal es [tex]\(4\)[/tex].
#### b) [tex]\(\frac{1}{2}x^5 + x^6\)[/tex]
1. Reordenar: Reordenamos el polinomio en términos decrecientes:
[tex]\[ x^6 + \frac{1}{2}x^5 \][/tex]
2. Determinar Grado: El grado del polinomio es el mayor exponente de [tex]\(x\)[/tex], que es [tex]\(6\)[/tex].
3. Coeficiente Principal: El coeficiente principal es el coeficiente del término con el grado más alto, que es [tex]\(1\)[/tex].
Por lo tanto, el polinomio ordenado es [tex]\(x^6 + \frac{1}{2}x^5\)[/tex], su grado es [tex]\(6\)[/tex] y su coeficiente principal es [tex]\(1\)[/tex].
#### c) [tex]\(-2x + 3x^3 - \frac{2}{3}x^2\)[/tex]
1. Reordenar: Reordenamos el polinomio en términos decrecientes:
[tex]\[ 3x^3 - \frac{2}{3}x^2 - 2x \][/tex]
2. Determinar Grado: El grado del polinomio es el mayor exponente de [tex]\(x\)[/tex], que es [tex]\(3\)[/tex].
3. Coeficiente Principal: El coeficiente principal es el coeficiente del término con el grado más alto, que es [tex]\(3\)[/tex].
Por lo tanto, el polinomio ordenado es [tex]\(3x^3 - \frac{2}{3}x^2 - 2x\)[/tex], su grado es [tex]\(3\)[/tex] y su coeficiente principal es [tex]\(3\)[/tex].
#### d) [tex]\(- \frac{x-4}{3} + \frac{4-x+x^3}{2}\)[/tex]
1. Simplificar: Primero simplificamos el polinomio dado:
[tex]\[ -\frac{x-4}{3} + \frac{4-x+x^3}{2} \][/tex]
[tex]\[ = -\frac{1}{3}(x-4) + \frac{1}{2}(4 - x + x^3) \][/tex]
[tex]\[ = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3} + \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{2}x + 2 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{1}{2}x^3 - \left(\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}x\right) + \left(\frac{4}{3} + 2\right) \][/tex]
[tex]\[ = \frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{6}x + \frac{10}{3} \][/tex]
2. Reordenar: El polinomio ya está simplificado y en orden decreciente:
[tex]\[ \frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{6}x + \frac{10}{3} \][/tex]
3. Determinar Grado: El grado del polinomio es el mayor exponente de [tex]\(x\)[/tex], que es [tex]\(3\)[/tex].
4. Coeficiente Principal: El coeficiente principal es el coeficiente del término con el grado más alto, que es [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex].
Por lo tanto, el polinomio ordenado es [tex]\(\frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{6}x + \frac{10}{3}\)[/tex], su grado es [tex]\(3\)[/tex] y su coeficiente principal es [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex].
### Resumen
- Polinomio a: Grado [tex]\(3\)[/tex], Coeficiente principal [tex]\(4\)[/tex], Ordenado: [tex]\(4x^3 + 3x^2 - 1\)[/tex]
- Polinomio b: Grado [tex]\(6\)[/tex], Coeficiente principal [tex]\(1\)[/tex], Ordenado: [tex]\(x^6 + \frac{1}{2}x^5\)[/tex]
- Polinomio c: Grado [tex]\(3\)[/tex], Coeficiente principal [tex]\(3\)[/tex], Ordenado: [tex]\(3x^3 - \frac{2}{3}x^2 - 2x\)[/tex]
- Polinomio d: Grado [tex]\(3\)[/tex], Coeficiente principal [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex], Ordenado: [tex]\(\frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{6}x + \frac{10}{3}\)[/tex]
Espero que esta explicación clara y detallada te haya sido de ayuda para comprender cómo determinar el grado y el coeficiente principal de estos polinomios y cómo ordenarlos según las potencias decrecientes.
#### a) [tex]\(4x^3 - 1 + 3x^2\)[/tex]
1. Reordenar: Primero, reordenamos el polinomio en términos decrecientes:
[tex]\[ 4x^3 + 3x^2 - 1 \][/tex]
2. Determinar Grado: El grado del polinomio es el exponente más alto de [tex]\(x\)[/tex], que en este caso es [tex]\(3\)[/tex].
3. Coeficiente Principal: El coeficiente principal es el coeficiente asociado al término de mayor grado, que es [tex]\(4\)[/tex].
Por lo tanto, el polinomio ordenado es [tex]\(4x^3 + 3x^2 - 1\)[/tex], su grado es [tex]\(3\)[/tex] y su coeficiente principal es [tex]\(4\)[/tex].
#### b) [tex]\(\frac{1}{2}x^5 + x^6\)[/tex]
1. Reordenar: Reordenamos el polinomio en términos decrecientes:
[tex]\[ x^6 + \frac{1}{2}x^5 \][/tex]
2. Determinar Grado: El grado del polinomio es el mayor exponente de [tex]\(x\)[/tex], que es [tex]\(6\)[/tex].
3. Coeficiente Principal: El coeficiente principal es el coeficiente del término con el grado más alto, que es [tex]\(1\)[/tex].
Por lo tanto, el polinomio ordenado es [tex]\(x^6 + \frac{1}{2}x^5\)[/tex], su grado es [tex]\(6\)[/tex] y su coeficiente principal es [tex]\(1\)[/tex].
#### c) [tex]\(-2x + 3x^3 - \frac{2}{3}x^2\)[/tex]
1. Reordenar: Reordenamos el polinomio en términos decrecientes:
[tex]\[ 3x^3 - \frac{2}{3}x^2 - 2x \][/tex]
2. Determinar Grado: El grado del polinomio es el mayor exponente de [tex]\(x\)[/tex], que es [tex]\(3\)[/tex].
3. Coeficiente Principal: El coeficiente principal es el coeficiente del término con el grado más alto, que es [tex]\(3\)[/tex].
Por lo tanto, el polinomio ordenado es [tex]\(3x^3 - \frac{2}{3}x^2 - 2x\)[/tex], su grado es [tex]\(3\)[/tex] y su coeficiente principal es [tex]\(3\)[/tex].
#### d) [tex]\(- \frac{x-4}{3} + \frac{4-x+x^3}{2}\)[/tex]
1. Simplificar: Primero simplificamos el polinomio dado:
[tex]\[ -\frac{x-4}{3} + \frac{4-x+x^3}{2} \][/tex]
[tex]\[ = -\frac{1}{3}(x-4) + \frac{1}{2}(4 - x + x^3) \][/tex]
[tex]\[ = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3} + \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{2}x + 2 \][/tex]
[tex]\[ = \frac{1}{2}x^3 - \left(\frac{1}{3}x + \frac{1}{2}x\right) + \left(\frac{4}{3} + 2\right) \][/tex]
[tex]\[ = \frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{6}x + \frac{10}{3} \][/tex]
2. Reordenar: El polinomio ya está simplificado y en orden decreciente:
[tex]\[ \frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{6}x + \frac{10}{3} \][/tex]
3. Determinar Grado: El grado del polinomio es el mayor exponente de [tex]\(x\)[/tex], que es [tex]\(3\)[/tex].
4. Coeficiente Principal: El coeficiente principal es el coeficiente del término con el grado más alto, que es [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex].
Por lo tanto, el polinomio ordenado es [tex]\(\frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{6}x + \frac{10}{3}\)[/tex], su grado es [tex]\(3\)[/tex] y su coeficiente principal es [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex].
### Resumen
- Polinomio a: Grado [tex]\(3\)[/tex], Coeficiente principal [tex]\(4\)[/tex], Ordenado: [tex]\(4x^3 + 3x^2 - 1\)[/tex]
- Polinomio b: Grado [tex]\(6\)[/tex], Coeficiente principal [tex]\(1\)[/tex], Ordenado: [tex]\(x^6 + \frac{1}{2}x^5\)[/tex]
- Polinomio c: Grado [tex]\(3\)[/tex], Coeficiente principal [tex]\(3\)[/tex], Ordenado: [tex]\(3x^3 - \frac{2}{3}x^2 - 2x\)[/tex]
- Polinomio d: Grado [tex]\(3\)[/tex], Coeficiente principal [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex], Ordenado: [tex]\(\frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{6}x + \frac{10}{3}\)[/tex]
Espero que esta explicación clara y detallada te haya sido de ayuda para comprender cómo determinar el grado y el coeficiente principal de estos polinomios y cómo ordenarlos según las potencias decrecientes.
