8. Utiliza la propiedad de los ángulos complementarios y determina el valor de:

[tex]\[ E = \frac{\csc 80^{\circ} \cdot \cos 10^{\circ} + \operatorname{tg} 48^{\circ} \cdot 2 \operatorname{tg} 42^{\circ}}{3 \operatorname{sen} 25^{\circ} \cdot \sec 65^{\circ} - 2 \operatorname{sen} 30^{\circ}} \][/tex]



Answer :

Para resolver la expresión dada, podemos utilizar las propiedades de los ángulos complementarios y simplificar paso a paso tanto el numerador como el denominador.

La expresión a evaluar es:
[tex]$ E = \frac{\csc 80^\circ \cdot \cos 10^\circ + \tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ}{3 \sin 25^\circ \cdot \sec 65^\circ - 2 \sin 30^\circ} $[/tex]

1. Simplificación del numerador

Primero, evaluamos el numerador:
[tex]$ \csc 80^\circ \cdot \cos 10^\circ + \tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ $[/tex]

Usaremos las propiedades trigonométricas que relacionan ángulos complementarios:
- [tex]$\csc 80^\circ = \frac{1}{\sin 80^\circ}$[/tex]
- [tex]$\sin 80^\circ = \cos 10^\circ$[/tex] (porque [tex]$80^\circ$[/tex] y [tex]$10^\circ$[/tex] son complementarios).

Así, podemos reescribir [tex]$\csc 80^\circ$[/tex] como:
[tex]$ \csc 80^\circ = \frac{1}{\cos 10^\circ} $[/tex]

Esto simplifica el primer término del numerador:
[tex]$ \csc 80^\circ \cdot \cos 10^\circ = \frac{1}{\cos 10^\circ} \cdot \cos 10^\circ = 1 $[/tex]

El segundo término del numerador es [tex]$\tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ$[/tex]. Recordando que [tex]$\tan 42^\circ \cdot \tan 48^\circ$[/tex] es un producto estándar que se relaciona mediante sus propiedades complementarias. Sin embargo, en este caso, simplemente podemos asumir el valor calculado:
[tex]$ \tan 48^\circ \cdot 2 \tan 42^\circ = 2 $[/tex]

Sumando estos resultados, obtenemos el numerador:
[tex]$ 1 + 2 = 3 $[/tex]

2. Simplificación del denominador

Ahora evaluamos el denominador:
[tex]$ 3 \sin 25^\circ \cdot \sec 65^\circ - 2 \sin 30^\circ $[/tex]

Usamos las propiedades trigonométricas de los ángulos complementarios:
- [tex]$\sec 65^\circ = \frac{1}{\cos 65^\circ}$[/tex]
- [tex]$\cos 65^\circ = \sin 25^\circ$[/tex] (porque [tex]$65^\circ$[/tex] y [tex]$25^\circ$[/tex] son complementarios).

Así, podemos reescribir [tex]$\sec 65^\circ$[/tex] como:
[tex]$ \sec 65^\circ = \frac{1}{\sin 25^\circ} $[/tex]

Entonces, el primer término del denominador se convierte en:
[tex]$ 3 \sin 25^\circ \cdot \frac{1}{\sin 25^\circ} = 3 $[/tex]

Y el segundo término se evalúa directamente:
[tex]$ 2 \sin 30^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $[/tex]

Restando estos resultados:
[tex]$ 3 - 1 = 2 $[/tex]

3. Combinación de numerador y denominador

Finalmente, combinamos el numerador y el denominador para obtener [tex]$E$[/tex]:
[tex]$ E = \frac{3}{2} $[/tex]

Así, el valor de [tex]\( E \)[/tex] es:
[tex]$ E = 1.5 $[/tex]