Claro, vamos a simplificar la expresión paso a paso.
La expresión inicial es:
[tex]\[
\left(\frac{2 x y^3}{z^{-1}}\right)^{-3}\left(x^{-2} z^7\right)
\][/tex]
### Paso 1: Simplificar dentro del paréntesis
Primero, simplificamos dentro del paréntesis:
[tex]\[
\frac{2 x y^3}{z^{-1}}
\][/tex]
Recordemos que una potencia negativa en el denominador equivale a una potencia positiva en el numerador:
[tex]\[
z^{-1} = \frac{1}{z^{-1}} = z
\][/tex]
Así que:
[tex]\[
\frac{2 x y^3}{z^{-1}} = 2 x y^3 z
\][/tex]
### Paso 2: Elevar al exponente -3
Ahora, elevamos toda la expresión [tex]\(2 x y^3 z\)[/tex] a la potencia de [tex]\(-3\)[/tex]:
[tex]\[
(2 x y^3 z)^{-3}
\][/tex]
Usamos la propiedad de las potencias: [tex]\((a b c)^{-n} = a^{-n} b^{-n} c^{-n}\)[/tex]:
[tex]\[
(2 x y^3 z)^{-3} = 2^{-3} \cdot x^{-3} \cdot (y^3)^{-3} \cdot z^{-3}
\][/tex]
Simplificamos cada término por separado:
[tex]\[
2^{-3} = \frac{1}{8}
\][/tex]
[tex]\[
x^{-3}
\][/tex]
[tex]\[
(y^3)^{-3} = y^{-9}
\][/tex]
[tex]\[
z^{-3}
\][/tex]
Entonces:
[tex]\[
(2 x y^3 z)^{-3} = \frac{1}{8} \cdot x^{-3} \cdot y^{-9} \cdot z^{-3}
\][/tex]
### Paso 3: Multiplicar por la segunda parte
Multiplicamos esta expresión por [tex]\(x^{-2} \cdot z^7\)[/tex]:
[tex]\[
\left(\frac{1}{8} x^{-3} y^{-9} z^{-3}\right) \left(x^{-2} z^7\right)
\][/tex]
Aplicamos la propiedad de las potencias: [tex]\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{1}{8} \cdot x^{-3 + (-2)} \cdot y^{-9} \cdot z^{-3 + 7}
\][/tex]
Simplificamos los exponentes:
[tex]\[
x^{-3 + (-2)} = x^{-5}
\][/tex]
[tex]\[
y^{-9}
\][/tex]
[tex]\[
z^{-3 + 7} = z^4
\][/tex]
Entonces:
[tex]\[
\frac{1}{8} \cdot x^{-5} \cdot y^{-9} \cdot z^4
\][/tex]
### Paso 4: Expresar con exponentes positivos
Finalmente, convertimos todos los exponentes a positivos:
[tex]\[
\frac{1}{8} \cdot \frac{z^4}{x^5 y^9}
\][/tex]
Lo cual nos da:
[tex]\[
\frac{z^4}{8 x^5 y^9}
\][/tex]
Así que la expresión simplificada con exponentes positivos es:
[tex]\[
\boxed{\frac{z^4}{8 x^5 y^9}}
\][/tex]
