Primero, consideremos las tres funciones algebraicas dadas:
1. [tex]\( f(x) = \frac{1}{2} x^2 - 2x + 6 \)[/tex]
2. [tex]\( f(x) = 3x^2 + 6x - 1 \)[/tex]
3. [tex]\( f(x) = 2x^2 - 4x - 1 \)[/tex]
Evaluemos cada función en un rango de valores de [tex]\( x \)[/tex] desde [tex]\(-10\)[/tex] hasta [tex]\( 10 \)[/tex] y observemos los resultados obtenidos para determinar cuál se ajusta mejor a los valores de la gráfica proporcionada.
### Evaluación de [tex]\( f(x) = \frac{1}{2} x^2 - 2x + 6 \)[/tex]
A continuación, calculamos los valores de [tex]\( y \)[/tex] para [tex]\( x \)[/tex] desde [tex]\(-10\)[/tex] hasta [tex]\( 10 \)[/tex]:
[tex]\[ \begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\ \hline
-10 & 76.0 \\
-9 & 64.5 \\
-8 & 54.0 \\
-7 & 44.5 \\
-6 & 36.0 \\
-5 & 28.5 \\
-4 & 22.0 \\
-3 & 16.5 \\
-2 & 12.0 \\
-1 & 8.5 \\
0 & 6.0 \\
1 & 4.5 \\
2 & 4.0 \\
3 & 4.5 \\
4 & 6.0 \\
5 & 8.5 \\
6 & 12.0 \\
7 & 16.5 \\
8 & 22.0 \\
9 & 28.5 \\
10 & 36.0 \\
\hline
\end{array} \][/tex]
### Evaluación de [tex]\( f(x) = 3x^2 + 6x - 1 \)[/tex]
[tex]\[ \begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\ \hline
-10 & 239 \\
-9 & 188 \\
-8 & 143 \\
-7 & 104 \\
-6 & 71 \\
-5 & 44 \\
-4 & 23 \\
-3 & 8 \\
-2 & -1 \\
-1 & -4 \\
0 & -1 \\
1 & 8 \\
2 & 23 \\
3 & 44 \\
4 & 71 \\
5 & 104 \\
6 & 143 \\
7 & 188 \\
8 & 239 \\
9 & 296 \\
10 & 359 \\
\hline
\end{array} \][/tex]
### Evaluación de [tex]\( f(x) = 2x^2 - 4x - 1 \)[/tex]
[tex]\[ \begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\ \hline
-10 & 239 \\
-9 & 197 \\
-8 & 159 \\
-7 & 125 \\
-6 & 95 \\
-5 & 69 \\
-4 & 47 \\
-3 & 29 \\
-2 & 15 \\
-1 & 5 \\
0 & -1 \\
1 & -3 \\
2 & -1 \\
3 & 5 \\
4 & 15 \\
5 & 29 \\
6 & 47 \\
7 & 69 \\
8 & 95 \\
9 & 125 \\
10 & 159 \\
\hline
\end{array} \][/tex]
### Comparación de Resultados
Al comparar los valores con la gráfica proporcionada:
1. La primera función [tex]\( f(x) = \frac{1}{2} x^2 - 2x + 6 \)[/tex] produce una serie de valores que muestran un crecimiento cuadrático moderado con una concavidad hacia arriba y un mínimo valor cercano a [tex]\( x = 2 \)[/tex], después del cual los valores vuelven a crecer.
2. La segunda función [tex]\( f(x) = 3x^2 + 6x - 1 \)[/tex] muestra un crecimiento muy rápido en ambos extremos, con valores muy altos en las puntas de [tex]\( x \)[/tex].
3. La tercera función [tex]\( f(x) = 2x^2 - 4x - 1 \)[/tex] también muestra un crecimiento acelerado, pero no tan pronunciado como la segunda, aunque sigue teniendo valores negativos y positivos de manera bastante significativa.
### Conclusión
Comparando estos resultados, parece que la gráfica proporcionada corresponde mejor con los valores de la primera opción:
[tex]\[ f(x) = \frac{1}{2} x^2 - 2x + 6 \][/tex]
Esta es la función que se corresponde con la gráfica.
