Para resolver el sistema de ecuaciones y encontrar el valor de [tex]\(a + b\)[/tex], seguimos estos pasos:
1. Ecuaciones dadas:
[tex]\[
\begin{array}{l}
a - b = 3 \\
a \cdot b = 2
\end{array}
\][/tex]
2. Expresión para [tex]\(a\)[/tex]: De la primera ecuación, podemos despejar [tex]\(a\)[/tex] en términos de [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[
a = b + 3
\][/tex]
3. Sustitución en la segunda ecuación: Sustituimos [tex]\(a = b + 3\)[/tex] en la segunda ecuación:
[tex]\[
(b + 3) \cdot b = 2
\][/tex]
4. Expansión y reordenación: Expandiendo y reordenando la ecuación obtenemos:
[tex]\[
b^2 + 3b - 2 = 0
\][/tex]
5. Resolver la ecuación cuadrática: Para resolver [tex]\(b^2 + 3b - 2 = 0\)[/tex], utilizamos la fórmula cuadrática [tex]\(b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\)[/tex], donde [tex]\(A = 1\)[/tex], [tex]\(B = 3\)[/tex], y [tex]\(C = -2\)[/tex]:
[tex]\[
b = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}
\][/tex]
6. Calculamos el discriminante:
[tex]\[
\sqrt{3^2 + 8} = \sqrt{9 + 8} = \sqrt{17}
\][/tex]
7. Soluciones para [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[
b_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, \quad b_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}
\][/tex]
8. Encontrar [tex]\(a\)[/tex] utilizando cada valor de [tex]\(b\)[/tex]:
Para [tex]\(b_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}\)[/tex]:
[tex]\[
a_1 = b_1 + 3 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} + 3 = \frac{-3 + \sqrt{17} + 6}{2} = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}
\][/tex]
Para [tex]\(b_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}\)[/tex]:
[tex]\[
a_2 = b_2 + 3 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} + 3 = \frac{-3 - \sqrt{17} + 6}{2} = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}
\][/tex]
9. Sumar [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex]:
[tex]\[
a_1 + b_1 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} + \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} = \sqrt{17}
\][/tex]
[tex]\[
a_2 + b_2 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} + \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} = -\sqrt{17}
\][/tex]
Por lo tanto, los posibles valores para [tex]\(a + b\)[/tex] son [tex]\(\sqrt{17}\)[/tex] y [tex]\(-\sqrt{17}\)[/tex].
