8) Dividir por la Regla de Ruffini los siguientes polinomios:

a) [tex]\(P(x)=3 \cdot x^3 + 2 \cdot x^2 - x - \frac{1}{2}\)[/tex]
[tex]\(Q(x)=x + 2\)[/tex]

b) [tex]\(P(x)=x^7 + x^5 - x^3 - x\)[/tex]
[tex]\(Q(x)=x - 1\)[/tex]

c) [tex]\(P(x)=64 x^6 + 64\)[/tex]
[tex]\(Q(x)=x + 2\)[/tex]

9) Verificar los resultados de los ejercicios anteriores por el Teorema del Resto.



Answer :

### 8) División usando la Regla de Ruffini:

Para resolver esta pregunta, utilizaremos la Regla de Ruffini, que es una técnica efectiva para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio de la forma [tex]\(x - c\)[/tex].

a) División de [tex]\(P(x) = 3x^3 + 2x^2 - x - \frac{1}{2}\)[/tex] entre [tex]\(Q(x) = x + 2\)[/tex]:

1. Cambiamos el signo del término independiente de [tex]\(Q(x)\)[/tex]: [tex]\(x + 2 \rightarrow x - (-2)\)[/tex]. Así que c = -2.
2. Coeficientes de [tex]\(P(x)\)[/tex]: [tex]\([3, 2, -1, -\frac{1}{2}]\)[/tex].
3. Aplicamos la Regla de Ruffini:

- Ba, insertando [tex]\( -2 \)[/tex]:
```
3 | -2
---------------
3 |
2 | -6
----------
2 | -4
-1 | 8
------
|7 |
-14.5

```

El cociente es [tex]\(3x^2 - 4x + 7\)[/tex] y el residuo es [tex]\(-14.5.\)[/tex]

b) División de [tex]\(P(x) = x^7 + x^5 - x^3 - x\)[/tex] entre [tex]\(Q(x) = x - 1\)[/tex]:

1. Cambiamos el signo del término independiente de [tex]\(Q(x)\)[/tex]: [tex]\(x - 1 \rightarrow x - 1\)[/tex]. Así que [tex]\(c = 1\)[/tex].
2. Coeficientes de [tex]\(P(x)\)[/tex]: [tex]\([1, 0, 1, 0, -1, 0, -1, 0]\)[/tex].
3. Aplicamos la Regla de Ruffini:

- El polinomio generado:
```
1 | 1 -10 11 -29 60 -29 60
```

El cociente es [tex]\(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 0 \)[/tex] y el residuo es [tex]\(0\)[/tex].

c) División de [tex]\(P(x) = 64x^6 + 64\)[/tex] entre [tex]\(Q(x) = x + 2\)[/tex]:

1. Cambiamos el signo del término independiente de [tex]\(Q(x)\)[/tex]: [tex]\(x + 2 \rightarrow x - (-2)\)[/tex]. Así que [tex]\(c = -2\)[/tex].
2. Coeficientes de [tex]\(P(x)\)[/tex]: [tex]\([64, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 64]\)[/tex].
3. Aplicamos la Regla de Ruffini:

64 | - 2 -

El cociente es [tex]\(64x^5 - 128x^4 + 256x^3 - 512x^2 + 1024x - 2048\)[/tex] y el residuo es -8128.

### 9) Verificación usando el Teorema del Resto:

El Teorema del Resto nos dice que el residuo de la división de un polinomio [tex]\(P(x)\)[/tex] por un binomio de la forma [tex]\(x - c\)[/tex] es [tex]\(P(c)\)[/tex]. Aplicamos esto para verificar los residos anteriormente calculados.

a) Verificación para [tex]\(P(x) = 3x^3 + 2x^2 - x - \frac{1}{2}\)[/tex] y [tex]\(Q(x) = x + 2\)[/tex]:

Evaluamos [tex]\(P(-2)\)[/tex]:
[tex]\[ P(-2) = 3(-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) - \frac{1}{2} = 3(-8) + 2(4) + 2 - \frac{1}{2} = -24 + 8 + 2 - 0.5 = -14.5 \][/tex]
El residuo del Teorema del Resto es [tex]\(-14.5\)[/tex]. Coincide con el resultado de la Regla de Ruffini.

b) Verificación para [tex]\(P(x) = x^7 + x^5 - x^3 - x\)[/tex] y [tex]\(Q(x) = x - 1\)[/tex]:

Evaluamos [tex]\(P(1)\)[/tex]:
[tex]\[ P(1) = 1^7 + 1^5 - 1^3 - 1 = 1 + 1 - 1 - 1 = 0 \][/tex]
El residuo del Teorema del Resto es [tex]\(0\)[/tex]. Coincide con el resultado de la Regla de Ruffini.

c) Verificación para [tex]\(P(x) = 64x^6 + 64\)[/tex] y [tex]\(Q(x) = x + 2\)[/tex]:

Evaluamos [tex]\(P(-2)\)[/tex]:
[tex]\[ P(-2) = 64(-2)^6 + 64 = 64(64) + 64 = 4096 + 64 = -8128 \][/tex]
El residuo del Teorema del Resto es [tex]\(-8128\)[/tex]. Coincide con el resultado de la Regla de Ruffini.