Vamos a resolver cada parte del problema paso a paso.
### Parte a) Evaluar el costo de producir 1000 unidades por semana
La función de costo está dada por:
[tex]\[ C(x) = 5000 + 6x + 0.002x^2 \][/tex]
Sustituyendo [tex]\( x = 1000 \)[/tex] en la función de costo:
[tex]\[ C(1000) = 5000 + 6(1000) + 0.002(1000)^2 \][/tex]
[tex]\[ C(1000) = 5000 + 6000 + 0.002(1000000) \][/tex]
[tex]\[ C(1000) = 5000 + 6000 + 2000 \][/tex]
[tex]\[ C(1000) = 13000 \][/tex]
Por lo tanto, el costo de producir 1000 unidades por semana es de \[tex]$13,000.
### Parte b) Evaluar el costo de no producir ninguna unidad (0 unidades)
Sustituyendo \( x = 0 \) en la función de costo:
\[ C(0) = 5000 + 6(0) + 0.002(0)^2 \]
\[ C(0) = 5000 + 0 + 0 \]
\[ C(0) = 5000 \]
Por lo tanto, el costo de no producir ninguna unidad es de \$[/tex]5,000.
### Parte c) Determinar el número de unidades producidas si el costo fue de \[tex]$25,000
Queremos encontrar \( x \) tal que \( C(x) = 25000 \). Entonces, debemos resolver la ecuación:
\[ 5000 + 6x + 0.002x^2 = 25000 \]
Restamos 5000 de ambos lados de la ecuación:
\[ 6x + 0.002x^2 = 20000 \]
Reorganizamos para obtener una ecuación cuadrática:
\[ 0.002x^2 + 6x - 20000 = 0 \]
Para resolver esta ecuación cuadrática, podemos usar la fórmula general:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Donde \( a = 0.002 \), \( b = 6 \), y \( c = -20000 \).
Usando la fórmula cuadrática, obtenemos dos soluciones para \( x \):
\[ x_1 = -5000 \]
\[ x_2 = 2000 \]
Dado que la cantidad de unidades producidas no puede ser negativa, descartamos \( x_1 = -5000 \) y nos quedamos con la solución positiva \( x_2 = 2000 \).
Por lo tanto, si el costo fue de \$[/tex]25,000, se produjeron 2000 unidades.
### Parte d) Graficar la función de costo
Para graficar la función de costo, podemos usar un rango de valores para [tex]\( x \)[/tex]. Consideremos los valores de [tex]\( x \)[/tex] desde 0 hasta 2000 para ver cómo varía el costo. A continuación mostramos la función [tex]\( C(x) \)[/tex]:
- Para [tex]\( x = 0 \)[/tex], [tex]\( C(0) = 5000 \)[/tex]
- Para [tex]\( x = 500 \)[/tex], [tex]\( C(500) = 8250 \)[/tex]
- Para [tex]\( x = 1000 \)[/tex], [tex]\( C(1000) = 13000 \)[/tex]
- Para [tex]\( x = 1500 \)[/tex], [tex]\( C(1500) = 19750 \)[/tex]
- Para [tex]\( x = 2000 \)[/tex], [tex]\( C(2000) = 25000 \)[/tex]
La gráfica de esta función es una parábola que abre hacia arriba.
A continuación se muestra la relación costo-unidades producidas:
[tex]\[
\begin{array}{cc}
x & C(x) \\
\hline
0 & 5000 \\
500 & 8250 \\
1000 & 13000 \\
1500 & 19750 \\
2000 & 25000 \\
\end{array}
\][/tex]
Esto confirma que la solución de la parte c es correcta: se producen 2000 unidades cuando el costo es \[tex]$25,000.
### Conclusión
- Costo para 1000 unidades: \$[/tex]13,000
- Costo para 0 unidades: \[tex]$5,000
- Número de unidades producidas si el costo es de \$[/tex]25,000: 2000 unidades
