### Paso 1: Encontrar la fórmula
Primero, observemos los valores dados en la tabla para encontrar la relación matemática que produce los valores de salida.
[tex]\[
\begin{array}{c|c}
\hline
\text{Valor de entrada} & \text{Valor de salida} \\
\hline
18.3 & 6.1 \\
159 & 5.3 \\
9.6 & 3.2 \\
-24 & -8 \\
\hline
\end{array}
\][/tex]
Evaluemos si existe una relación lineal entre los valores de entrada y salida de la forma:
[tex]\[
y = mx + b
\][/tex]
donde [tex]\( y \)[/tex] es el valor de salida, [tex]\( x \)[/tex] es el valor de entrada, [tex]\( m \)[/tex] es la pendiente y [tex]\( b \)[/tex] es la ordenada del origen.
Para dos puntos cualesquiera ([tex]\( x_1, y_1 \)[/tex]) y ([tex]\( x_2, y_2 \)[/tex]) en la tabla, la pendiente se calcula como:
[tex]\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\][/tex]
Tomemos dos puntos: (18.3, 6.1) y (-24, -8). Calculemos la pendiente:
[tex]\[
m = \frac{6.1 - (-8)}{18.3 - (-24)} = \frac{6.1 + 8}{18.3 + 24} = \frac{14.1}{42.3} \approx 0.3333
\][/tex]
Ahora, usemos uno de los puntos para encontrar [tex]\( b \)[/tex]:
[tex]\[
y = mx + b \implies 6.1 = 0.3333 \cdot 18.3 + b \implies 6.1 = 6.1 + b \implies b = 0
\][/tex]
Por lo tanto, la fórmula parece ser:
[tex]\[
y = 0.3333x
\][/tex]
### Paso 2: Completar la tabla
Usando la fórmula [tex]\( y = 0.3333x \)[/tex], completamos la tabla:
[tex]\[
\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}
\hline
\text{Valor de entrada} & -10.5 & -9 & -3 & 0 & 1 & 3 & 9 & 105 \\
\hline
\text{Valor de salida} & -3.5 & -3 & -1 & 0 & 0.3333 & 1 & 3 & 35 \\
\hline
\end{array}
\][/tex]
### Paso 3: Construir la gráfica
Usa los valores completados en la tabla para construir la gráfica en un plano cartesiano.
### Paso 4: Verificar con la calculadora gráfica
Introduce la ecuación [tex]\( y = 0.3333x \)[/tex] en tu calculadora gráfica y compara la gráfica generada con la que construiste a mano para verificar que coincidan.
### Paso 5: Utilizar la tecla TRACE
Responde las preguntas utilizando la calculadora gráfica.
- [tex]\(\text{¿Qué valor tiene } x \text{ cuando } y = A \text{?}\)[/tex] \\
- [tex]\(\text{¿Qué valor tiene } y \text{ cuando } x = 21 \text{?}\)[/tex] \\
[tex]\(y = 0.3333 \cdot 21 \approx 7\)[/tex]
- [tex]\(\text{¿Qué valor tiene } x \text{ cuando } y = 0 \text{?}\)[/tex] \\
[tex]\(x = 0\)[/tex]
### Paso 6: Comentario de la estudiante
La estudiante dice que la gráfica no pasa por el punto (2.7, 0.9). [tex]\(\text{¿Estás de acuerdo?}\)[/tex]
Evaluamos si el punto (2.7, 0.9) está en la gráfica:
[tex]\[
y = 0.3333 \cdot 2.7 = 0.89991 \approx 0.9
\][/tex]
Sí, el punto (2.7, 0.9) está muy cerca de estar en la gráfica. Por lo tanto, la gráfica sí pasa muy cerca de este punto.
