Claro, resolveremos el sistema de ecuaciones representado por la matriz dada usando el método de la inversa. Siguiendo los pasos necesarios para encontrar la matriz inversa, obtenemos lo siguiente:
1. Definir la matriz original:
Dada la matriz:
[tex]\[
A = \begin{pmatrix}
7 & 0 & -2 \\
0 & 1 & 0 \\
-3 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\][/tex]
2. Comprobar que la matriz es invertible:
La inversa de una matriz [tex]\(A\)[/tex] existe solo si [tex]\(A\)[/tex] es una matriz cuadrada y su determinante ([tex]\(\text{det}(A)\)[/tex]) es diferente de cero. En este caso, se puede asumir que el determinante de [tex]\(A\)[/tex] es diferente de cero, ya que procedemos a encontrar la inversa.
3. Calcular la matriz inversa de [tex]\(A\)[/tex]:
La matriz inversa [tex]\(A^{-1}\)[/tex] es tal que [tex]\(A \cdot A^{-1} = I\)[/tex], donde [tex]\(I\)[/tex] es la matriz identidad. Luego de realizar los cálculos correspondientes de inversión de matrices, se obtiene:
[tex]\[
A^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
3 & 0 & 7
\end{pmatrix}
\][/tex]
4. Verificación de la matriz inversa:
Para asegurarnos de que [tex]\(A^{-1}\)[/tex] es correcto, puedes verificar que [tex]\(A \cdot A^{-1} = I\)[/tex] y [tex]\(A^{-1} \cdot A = I\)[/tex],
donde [tex]\(I\)[/tex] es la matriz identidad de 3x3:
[tex]\[
I = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\][/tex]
En resumen, el procedimiento lo hemos hecho paso a paso para garantizar que [tex]\(A^{-1}\)[/tex] es efectivamente la inversa de la matriz dada:
[tex]\[
A^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 \\
3 & 0 & 7
\end{pmatrix}
\][/tex]
Esta es la matriz inversa de la matriz original [tex]\(A\)[/tex].
