Para resolver a inequação
[tex]\[
\frac{x+3}{x-2} \leq 0
\][/tex]
vamos analisar as propriedades da função racional e os intervalos onde a desigualdade é satisfeita.
### Passo 1: Determinar os pontos críticos
Os pontos críticos são os valores de [tex]\( x \)[/tex] que tornam o numerador igual a zero e o denominador igual a zero.
1. Numerador: [tex]\( x + 3 = 0 \)[/tex]
[tex]\[
x = -3
\][/tex]
2. Denominador: [tex]\( x - 2 = 0 \)[/tex]
[tex]\[
x = 2
\][/tex]
Estes pontos críticos dividem a reta numérica em três intervalos: [tex]\( (-\infty, -3) \)[/tex], [tex]\( (-3, 2) \)[/tex], e [tex]\( (2, \infty) \)[/tex].
### Passo 2: Analisar os sinais em cada intervalo
Vamos testar os sinais da expressão [tex]\( \frac{x+3}{x-2} \)[/tex] em cada um desses intervalos.
1. Para [tex]\( x < -3 \)[/tex]:
- Escolha um valor qualquer, por exemplo, [tex]\( x = -4 \)[/tex].
[tex]\[
\frac{-4+3}{-4-2} = \frac{-1}{-6} = \frac{1}{6} > 0
\][/tex]
2. Para [tex]\( -3 < x < 2 \)[/tex]:
- Escolha um valor qualquer, por exemplo, [tex]\( x = 0 \)[/tex].
[tex]\[
\frac{0+3}{0-2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2} < 0
\][/tex]
3. Para [tex]\( x > 2 \)[/tex]:
- Escolha um valor qualquer, por exemplo, [tex]\( x = 3 \)[/tex].
[tex]\[
\frac{3+3}{3-2} = \frac{6}{1} = 6 > 0
\][/tex]
### Passo 3: Incluir os pontos críticos, se necessário
Analisamos agora a inclusão dos pontos críticos:
1. Para [tex]\( x = -3 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{-3+3}{-3-2} = \frac{0}{-5} = 0 \leq 0
\][/tex]
Então, [tex]\( x = -3 \)[/tex] está incluído na solução.
2. Para [tex]\( x = 2 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{2+3}{2-2} = \frac{5}{0} \text{ (indeterminado)}
\][/tex]
[tex]\( x = 2 \)[/tex] não está incluído na solução, pois a expressão é indeterminada.
Portanto, a desigualdade [tex]\( \frac{x+3}{x-2} \leq 0 \)[/tex] é satisfeita no intervalo combinado:
[tex]\[
-3 \leq x < 2
\][/tex]
### Solução Final
A solução da inequação [tex]\( \frac{x+3}{x-2} \leq 0 \)[/tex] é:
[tex]\[
-3 \leq x < 2
\][/tex]
