Para resolver el problema, debemos encontrar el valor de [tex]\(\sin \theta\)[/tex] dado que [tex]\(\cos \theta = -\frac{4}{5}\)[/tex] y el punto [tex]\(P(\theta)\)[/tex] está en el tercer cuadrante.
Consideremos el siguiente procedimiento:
1. Identificar las características del tercer cuadrante:
En el tercer cuadrante, tanto el seno como el coseno de [tex]\(\theta\)[/tex] son negativos.
2. Utilizar la identidad trigonométrica:
La identidad trigonométrica fundamental es:
[tex]\[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
\][/tex]
3. Sustituir [tex]\(\cos \theta\)[/tex]:
Dado que [tex]\(\cos \theta = -\frac{4}{5}\)[/tex], calculamos su cuadrado:
[tex]\[
\cos^2 \theta = \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}
\][/tex]
4. Resolver para [tex]\(\sin^2 \theta\)[/tex]:
Usamos la identidad trigonométrica y sustituimos el valor calculado:
[tex]\[
\sin^2 \theta + \frac{16}{25} = 1
\][/tex]
Restamos [tex]\(\frac{16}{25}\)[/tex] de ambos lados:
[tex]\[
\sin^2 \theta = 1 - \frac{16}{25}
\][/tex]
Sabemos que [tex]\(1\)[/tex] puede ser expresado como una fracción con denominador [tex]\(25\)[/tex]:
[tex]\[
1 = \frac{25}{25}
\][/tex]
Entonces:
[tex]\[
\sin^2 \theta = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}
\][/tex]
5. Calcular [tex]\(\sin \theta\)[/tex]:
Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados para encontrar [tex]\(\sin \theta\)[/tex], recordando que en el tercer cuadrante el seno es negativo:
[tex]\[
\sin \theta = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}
\][/tex]
6. Verificar las opciones:
Observando las opciones proporcionadas:
A) [tex]\(\frac{\sqrt{41}}{5}\)[/tex]
B) [tex]\(\frac{3}{5}\)[/tex]
C) [tex]\(-\frac{3}{5}\)[/tex]
D) [tex]\(-\frac{\sqrt{41}}{5}\)[/tex]
La respuesta correcta es:
[tex]\[ C) -\frac{3}{5} \][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\(\sin \theta\)[/tex] es [tex]\(-\frac{3}{5}\)[/tex].
