4. La recta que une el origen con el punto [tex][tex]$Q(4,1)$[/tex][/tex] intersecta la circunferencia unitaria en el punto [tex][tex]$P(\theta) = \left(\frac{4}{\sqrt{17}}, \frac{1}{\sqrt{17}}\right)$[/tex][/tex].

Determina el valor exacto de la función [tex][tex]$\operatorname{tg} \theta$[/tex][/tex].

A) [tex][tex]$\frac{4}{17}$[/tex][/tex]
B) [tex][tex]$\frac{1}{4}$[/tex][/tex]
C) 4
D) [tex][tex]$\frac{17}{4}$[/tex][/tex]



Answer :

Para resolver este problema, necesitamos encontrar el valor de la función tangente ([tex]\(\operatorname{tg} \theta\)[/tex]) para un punto [tex]\( P(\theta) \)[/tex] dado en la circunferencia unitaria.

Paso 1: Identificar las coordenadas del punto [tex]\( P(\theta) \)[/tex]

Se nos da que el punto [tex]\( P(\theta) \)[/tex] tiene las coordenadas [tex]\(\left( \frac{4}{\sqrt{17}}, \frac{1}{\sqrt{17}} \right)\)[/tex].

Paso 2: Recordar la definición de la función tangente

Por definición, la tangente de un ángulo [tex]\(\theta\)[/tex] en el círculo unitario se calcula como el cociente entre la coordenada [tex]\( y \)[/tex] y la coordenada [tex]\( x \)[/tex] de ese punto:

[tex]\[ \operatorname{tg} \theta = \frac{y}{x} \][/tex]

Paso 3: Sustituir las coordenadas del punto [tex]\( P(\theta) \)[/tex]

Las coordenadas [tex]\( x \)[/tex] y [tex]\( y \)[/tex] de [tex]\( P(\theta) \)[/tex] son:

[tex]\[ x = \frac{4}{\sqrt{17}} \][/tex]

[tex]\[ y = \frac{1}{\sqrt{17}} \][/tex]

Sustituimos estas coordinadas en la ecuación de la tangente:

[tex]\[ \operatorname{tg} \theta = \frac{\frac{1}{\sqrt{17}}}{\frac{4}{\sqrt{17}}} \][/tex]

Paso 4: Simplificar la expresión

Podemos simplificar esta fracción:

[tex]\[ \operatorname{tg} \theta = \frac{1 / \sqrt{17}}{4 / \sqrt{17}} = \frac{1 / \sqrt{17}}{\frac{4}{\sqrt{17}}} = \frac{1}{4} \][/tex]

Por lo tanto, el valor exacto de [tex]\(\operatorname{tg} \theta\)[/tex] es:

[tex]\[ \operatorname{tg} \theta = \frac{1}{4} \][/tex]

Conclusión

La respuesta correcta es:

B) [tex]\(\frac{1}{4}\)[/tex]