Para hallar la longitud de la cuerda de la circunferencia [tex]\(x^2 + y^2 = 16\)[/tex] que está sobre la recta [tex]\(2x + y - 4 = 0\)[/tex], seguimos los siguientes pasos:
1. Identificación del radio de la circunferencia:
Dada la ecuación de la circunferencia [tex]\(x^2 + y^2 = 16\)[/tex], sabemos que esta es de la forma [tex]\((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\)[/tex], donde [tex]\((h, k)\)[/tex] es el centro de la circunferencia y [tex]\(r\)[/tex] es el radio. En este caso, la circunferencia está centrada en el origen [tex]\((0, 0)\)[/tex] y el radio es [tex]\(r = 4\)[/tex] ya que [tex]\(16 = 4^2\)[/tex].
2. Distancia del centro de la circunferencia a la recta:
La fórmula de la distancia desde un punto [tex]\((x_0, y_0)\)[/tex] a una recta [tex]\(ax + by + c = 0\)[/tex] es:
[tex]\[
d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\][/tex]
Aplicamos esta fórmula con [tex]\(a = 2\)[/tex], [tex]\(b = 1\)[/tex], [tex]\(c = -4\)[/tex] y el punto [tex]\((x_0, y_0) = (0, 0)\)[/tex]:
[tex]\[
d = \frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 4|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \approx 1.789
\][/tex]
3. Longitud de la cuerda:
Sabiendo que la cuerda es perpendicular a la distancia mínima desde el centro de la circunferencia a la recta, podemos usar el teorema del círculo relacionado con cuerda y perpendicular:
La longitud de la cuerda es [tex]\(2 \sqrt{r^2 - d^2}\)[/tex].
Sustituimos [tex]\(r = 4\)[/tex] y [tex]\(d \approx 1.789\)[/tex]:
[tex]\[
L = 2 \sqrt{4^2 - (1.789)^2} = 2 \sqrt{16 - 3.2} = 2 \sqrt{12.8} \approx 2 \cdot 3.577 = 7.155
\][/tex]
Por lo tanto, la longitud de la cuerda es aproximadamente [tex]\(7.155\)[/tex] unidades.
