Para resolver esta pregunta, vamos a asociar cada fórmula con la serie correspondiente.
- Para la serie [tex]\(1 + 2 + 3 + \ldots + n\)[/tex], la fórmula correcta es la suma de los primeros [tex]\(n\)[/tex] números naturales, que es [tex]\(\frac{n(n+1)}{2}\)[/tex]. Por lo tanto, se relaciona con II.
- Para la serie [tex]\(2 + 4 + 6 + \ldots + 2n\)[/tex], la fórmula correcta es la suma de los primeros [tex]\(n\)[/tex] números pares, que es [tex]\(n(n+1)\)[/tex]. Por lo tanto, se relaciona con III.
- Para la serie [tex]\(1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1)\)[/tex], la fórmula correcta es la suma de los primeros [tex]\(n\)[/tex] números impares, que es [tex]\(n^2\)[/tex]. Por lo tanto, se relaciona con IV.
- Para la serie [tex]\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2\)[/tex], la fórmula correcta es la suma de los cuadrados de los primeros [tex]\(n\)[/tex] números naturales, que es [tex]\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)[/tex]. Por lo tanto, se relaciona con I.
Así que combinamos estos resultados en la tabla:
a) [tex]\(1 + 2 + 3 + \ldots + n\)[/tex] → II [tex]\(\frac{n(n+1)}{2}\)[/tex]
b) [tex]\(2 + 4 + 6 + \ldots + 2n\)[/tex] → III [tex]\(n(n+1)\)[/tex]
c) [tex]\(1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1)\)[/tex] → IV [tex]\(n^2\)[/tex]
d) [tex]\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2\)[/tex] → I [tex]\(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)[/tex]
Ahora, completamos la tabla:
\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
\hline
a & b & c & d \\
\hline
II & III & IV & I \\
\hline
\end{tabular}
De acuerdo con nuestra tabla, la opción correcta entre las listadas es la:
c. Id, IIa, IIIb, IVc
[tex]\[
\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline
a & b & c & d \\
\hline
II & III & IV & I \\
\hline
\end{array}
\][/tex]
