Vamos a resolver el problema paso a paso.
#### Parte 0) Archiveros y Cavones
Tenemos dos tipos de archiveros: unos con 3 cavones y otros con 4 cavones. En total, hay 25 archiveros y 85 cavones.
1. Definimos [tex]\( x \)[/tex] como el número de archiveros con 3 cavones.
2. Definimos [tex]\( y \)[/tex] como el número de archiveros con 4 cavones.
Formulamos las siguientes ecuaciones:
[tex]\[ x + y = 25 \quad \text{(Ecuación 1)} \][/tex]
[tex]\[ 3x + 4y = 85 \quad \text{(Ecuación 2)} \][/tex]
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
De la Ecuación 1:
[tex]\[ y = 25 - x \][/tex]
Sustituimos [tex]\( y \)[/tex] en la Ecuación 2:
[tex]\[ 3x + 4(25 - x) = 85 \][/tex]
[tex]\[ 3x + 100 - 4x = 85 \][/tex]
[tex]\[ -x + 100 = 85 \][/tex]
[tex]\[ -x = -15 \][/tex]
[tex]\[ x = 15 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ y = 25 - x = 25 - 15 = 10 \][/tex]
Por lo tanto, hay 15 archiveros con 3 cavones y 10 archiveros con 4 cavones.
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#### Parte c) Tramos del Tubo
Tenemos un tubo de 42.5 metros formado por 15 tramos, unos de 2.7 metros y otros de 3.1 metros.
1. Definimos [tex]\( a \)[/tex] como el número de tramos de 2.7 metros.
2. Definimos [tex]\( b \)[/tex] como el número de tramos de 3.1 metros.
Formulamos las siguientes ecuaciones:
[tex]\[ a + b = 15 \quad \text{(Ecuación 1)} \][/tex]
[tex]\[ 2.7a + 3.1b = 42.5 \quad \text{(Ecuación 2)} \][/tex]
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
De la Ecuación 1:
[tex]\[ b = 15 - a \][/tex]
Sustituimos [tex]\( b \)[/tex] en la Ecuación 2:
[tex]\[ 2.7a + 3.1(15 - a) = 42.5 \][/tex]
[tex]\[ 2.7a + 46.5 - 3.1a = 42.5 \][/tex]
[tex]\[ -0.4a + 46.5 = 42.5 \][/tex]
[tex]\[ -0.4a = -4 \][/tex]
[tex]\[ a = 10 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ b = 15 - a = 15 - 10 = 5 \][/tex]
Por lo tanto, hay 10 tramos de 2.7 metros y 5 tramos de 3.1 metros.
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#### Parte a) Monedas
Una cajera recibió [tex]$500 en monedas de $[/tex]9 y de [tex]$1000.
1. Definimos \( m_9 \) como el número de monedas de $[/tex]9.
2. Definimos [tex]\( m_{1000} \)[/tex] como el número de monedas de [tex]$1000.
Formulamos la siguiente ecuación:
\[ 9m_9 + 1000m_{1000} = 500 \quad \text{(Ecuación única)} \]
Debemos encontrar una solución en valores enteros. Es claro que no podemos tener ni siquiera una moneda de $[/tex]1000 porque ya excedería los [tex]$500. Por lo tanto, \( m_{1000} = 0 \).
Sustituyendo \( m_{1000} = 0 \):
\[ 9m_9 + 1000 \times 0 = 500 \]
\[ 9m_9 = 500 \]
\[ m_9 = \frac{500}{9} \approx 55.56 \]
Dado que \( m_9 \) debe ser un número entero, no hay una combinación de monedas de $[/tex]9 y [tex]$1000 que sume exactamente $[/tex]500 sin usar fracciones. Esto implica que, en los datos proporcionados, podría haber un error o una omisión.
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En resumen, las respuestas a las partes del problema serían:
1. Hay 15 archiveros con 3 cavones y 10 archiveros con 4 cavones.
2. Hay 10 tramos de 2.7 metros y 5 tramos de 3.1 metros.
3. No hay una combinación de monedas de [tex]$9 y $[/tex]1000 que sume exactamente $500 sin usar fracciones.
