Let's solve the problem step by step:
### 1. Factoriser [tex]\( A(x) \)[/tex]
Soit [tex]\( A(x) \)[/tex] l'expression suivante :
[tex]\[ A(x) = (8 - 2x)(x + 5) + (x - 4)(x + 1) \][/tex]
Nous commençons par développer chaque terme :
[tex]\[ (8 - 2x)(x + 5) = 8x + 40 - 2x^2 - 10x = -2x^2 - 2x + 40 \][/tex]
[tex]\[ (x - 4)(x + 1) = x^2 + x - 4x - 4 = x^2 - 3x - 4 \][/tex]
En additionnant les deux résultats pour obtenir [tex]\( A(x) \)[/tex]:
[tex]\[ A(x) = -2x^2 - 2x + 40 + x^2 - 3x - 4 = -x^2 - 5x + 36 \][/tex]
Nous factorisons [tex]\( A(x) \)[/tex]:
[tex]\[ A(x) = -(x^2 + 5x - 36) = -(x - 4)(x + 9) \][/tex]
Donc, la forme factorisée de [tex]\( A(x) \)[/tex] est :
[tex]\[ A(x) = -(x - 4)(x + 9) \][/tex]
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### 2. Développer [tex]\( B(x) \)[/tex]
Soit [tex]\( B(x) \)[/tex] l'expression suivante :
[tex]\[ B(x) = (3 - 2x)^2 - (7 - x)(3x + 1) \][/tex]
Nous commençons par développer chaque terme :
[tex]\[ (3 - 2x)^2 = 9 - 12x + 4x^2 \][/tex]
[tex]\[ (7 - x)(3x + 1) = 21x + 7 - 3x^2 - x = 21x + 7 - 3x^2 - x = 21x - 3x^2 + 7 - x \][/tex]
En combinant ces résultats :
[tex]\[ B(x) = 9 - 12x + 4x^2 - (21x - 3x^2 + 7 - x) = 4x^2 - 12x + 9 - 7x + 21x - 21x + x = 4x^2 - 19x + 2x + 9 - 7 \][/tex]
En simplifiant :
[tex]\[ B(x) = 7x^2 - 32 x + 2 \][/tex]
Donc, la forme développée de [tex]\( B(x) \)[/tex] est :
[tex]\[ B(x) = 7x^2 - 32x + 2 \][/tex]
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### 3. Choisir la forme la plus adaptée
#### 3a. Résoudre [tex]\( A(x) = 0 \)[/tex]
Pour résoudre [tex]\( A(x) = 0 \)[/tex], nous devons utiliser la forme factorisée [tex]\( A(x) = -(x - 4)(x + 9) \)[/tex].
En résolvant les équations [tex]\( x - 4 = 0 \)[/tex] et [tex]\( x + 9 = 0 \)[/tex], nous obtenons :
[tex]\[ x - 4 = 0 \implies x = 4 \][/tex]
[tex]\[ x + 9 = 0 \implies x = -9 \][/tex]
Donc, les solutions de [tex]\( A(x) = 0 \)[/tex] sont :
[tex]\[ x = 4 \,\, \text{et} \,\, x = -9 \][/tex]
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#### 3b. Calculer [tex]\( B(-1) \)[/tex]
Pour calculer [tex]\( B(-1) \)[/tex] il est plus simple de travailler avec la forme développée [tex]\( B(x) = 7x^2 - 32x + 2 \)[/tex]. En substituant [tex]\( x = -1 \)[/tex]:
[tex]\[ B(-1) = 7(-1)^2 - 32(-1) + 2 = 7(1) + 32 + 2 = 7 + 32 + 2 = 41 \][/tex]
Donc, la valeur de [tex]\( B(-1) \)[/tex] est :
[tex]\[ B(-1) = 41 \][/tex]
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#### 3k. Résoudre [tex]\( B(x) = 2 \)[/tex]
Pour résoudre [tex]\( B(x) = 2 \)[/tex], il est utile de travailler avec la forme développée [tex]\( B(x) = 7x^2 - 32x + 2 \)[/tex]. Nous posons l'équation suivante :
[tex]\[ 7x^2 - 32x + 2 = 2 \][/tex]
En simplifiant:
[tex]\[ 7x^2 - 32x = 0 \][/tex]
Factorisant :
[tex]\[ 7x^2 - 32x = x(7x - 32) \][/tex]
Nous obtenons donc les solutions :
[tex]\[ x = 0 \,\, \text{ou} \,\, 7x - 32 = 0 \implies x = \frac{32}{7} \][/tex]
Donc, les solutions de [tex]\( B(x) = 2 \)[/tex] sont :
[tex]\[ x = 0 \,\, \text{et} \,\, x = \frac{32}{7} \][/tex]
