Allons-y pour résoudre les deux exercices.
### Exo 5
Nous devons développer l'expression \( B = (7 \sqrt{2} - 5 \sqrt{3})(7 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3}) \).
1. Utiliser l'identité remarquable :
Il s'agit d'une différence de carrés. Nous avons :
[tex]\[
(a - b)(a + b) = a^2 - b^2
\][/tex]
où \( a = 7 \sqrt{2} \) et \( b = 5 \sqrt{3} \).
2. Calculer \( a^2 \) :
[tex]\[
a^2 = (7 \sqrt{2})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98
\][/tex]
3. Calculer \( b^2 \) :
[tex]\[
b^2 = (5 \sqrt{3})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75
\][/tex]
4. Soustraction des carrés :
[tex]\[
B = a^2 - b^2 = 98 - 75 = 23
\][/tex]
Donc, le développement de \( B \) est \( 23 \).
### Exo 6
Nous devons démontrer que
[tex]\[
\frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7 \sqrt{3}}{3}
\][/tex]
1. Rationnalisation du dénominateur :
Pour enlever le radical du dénominateur, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par \( \sqrt{3} \) :
[tex]\[
\frac{7}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{7 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}
\][/tex]
2. Simplifier le quotient :
Sachant que \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \), nous obtenons :
[tex]\[
\frac{7 \cdot \sqrt{3}}{3}
\][/tex]
Il en résulte que
[tex]\[
\frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7 \sqrt{3}}{3}
\][/tex].
La démonstration est ainsi complétée.
