Claro, vamos a simplificar cada expresión paso a paso.
### Expresión A: \(\frac{12!}{10!}\)
Primero, recordemos la definición de factorial. \(12!\) significa \(12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times \cdots \times 1\) y \(10!\) significa \(10 \times 9 \times 8 \times \cdots \times 1\).
[tex]\[
\frac{12!}{10!} = \frac{12 \times 11 \times 10!}{10!}
\][/tex]
Aquí, los \(10!\) del numerador y del denominador se cancelan, dejando:
[tex]\[
12 \times 11 = 132
\][/tex]
### Expresión C: \(\frac{7!}{(7-2)!}\)
\(7!\) es \(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\) y \((7-2)!\) es \(5!\) que es \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\).
[tex]\[
\frac{7!}{(7-2)!} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5!}
\][/tex]
Aquí, los \(5!\) del numerador y del denominador se cancelan, dejando:
[tex]\[
7 \times 6 = 42
\][/tex]
### Expresión D: \(\frac{8!}{(8-3)!3!}\)
\(8!\) es \(8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\), \((8-3)!\) es \(5!\) que es \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\), y \(3!\) es \(3 \times 2 \times 1\).
Primero, simplifiquemos el numerador:
[tex]\[
8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5!
\][/tex]
El denominador es:
[tex]\[
(8-3)! \times 3! = 5! \times 3! = 5! \times (3 \times 2 \times 1)
\][/tex]
Entonces, la expresión se convierte en:
[tex]\[
\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5! \times 3!}
\][/tex]
Aquí, los \(5!\) del numerador y del denominador se cancelan, dejando:
[tex]\[
\frac{8 \times 7 \times 6}{3!}
\][/tex]
Ahora, calculemos \(3!\):
[tex]\[
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
\][/tex]
Entonces, la expresión se convierte en:
[tex]\[
\frac{8 \times 7 \times 6}{6}
\][/tex]
Los \(6\) del numerador y del denominador se cancelan, dejando:
[tex]\[
8 \times 7 = 56
\][/tex]
### Resultados Finales
[tex]\[
\begin{align*}
A. & \quad \frac{12!}{10!} = 132 \\
C. & \quad \frac{7!}{(7-2)!} = 42 \\
D. & \quad \frac{8!}{(8-3)!3!} = 56
\end{align*}
\][/tex]
