### Parte 1: Organización de 7 niños alrededor de una mesa redonda
Para organizar a 7 niños alrededor de una mesa redonda, debemos considerar que en una disposición circular uno de los asientos puede tomarse como fijo debido a la simetría del círculo. Esto significa que tenemos que ordenar los otros 6 niños en los asientos restantes.
La fórmula para el número de maneras en que podemos organizar \( n \) objetos alrededor de una mesa redonda es \((n-1)!\) (factorial de \( n-1 \)).
En este caso, \( n = 7 \):
[tex]\[
(n-1)! = 6! = 720
\][/tex]
Entonces, hay 720 maneras de organizar a 7 niños alrededor de una mesa redonda.
### Parte 2: Números de 3 cifras diferentes formados con los números del 1 al 5
Para formar números de 3 cifras diferentes usando los dígitos del 1 al 5, tenemos que considerar las permutaciones posibles de estos dígitos tomados de 3 en 3.
Los dígitos disponibles son 1, 2, 3, 4 y 5. Queremos encontrar todas las permutaciones de estos dígitos en grupos de 3.
[tex]\[
Número \ de \ permutaciones = P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!}
\][/tex]
Específicamente:
[tex]\[
P(5, 3) = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60
\][/tex]
Entonces, hay 60 números de 3 cifras diferentes que se pueden formar con los números del 1 al 5.
### Resumen:
1. El número de maneras de organizar a 7 niños alrededor de una mesa redonda es 720.
2. El número de números de 3 cifras diferentes que se pueden formar con los números del 1 al 5 es 60.
