Answer :
यहां दी गई समस्या को तीन भागों में हल करना है:
### (क) \(2a^4 - a^2 - 1\) को गुणा करें।
दी गई बहुपद \(2a^4 - a^2 - 1\) को गुणा कारकों के रूप में विभाजित करने के लिए, हम देखते हैं कि इसे निम्नलिखित प्रकार से विभाजित किया जा सकता है:
[tex]\[ 2a^4 - a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)(2a^2 + 1) \][/tex]
### (च) \((2x + 3y)^2 + (2y + 3z)^2 + (2z + 3x)^2\) का मान निकालें।
प्रकाशित राशि की गणना की जाए तो:
[tex]\[ (2x + 3y)^2 + (2y + 3z)^2 + (3x + 2z)^2 \][/tex]
### (ग) \(z = 6\) होने पर दिखाना है कि \(x^5 - y^5 = 211\)।
हमें दो समीकरण दिए गए हैं:
1. \( x + y + z = 11 \)
2. \( xy + yz + zx = 36 \)
जैसा कि \(z = 6\) है, हम इसे उपरोक्त समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं:
1. \( x + y + 6 = 11 \)
[tex]\[ x + y = 5 \][/tex]
2. \( xy + 6y + 6x = 36 \)
अचानक समीकरणों को हल करने से:
[tex]\[ xy + 6(x + y) = 36 \][/tex]
[tex]\[ xy + 6(5) = 36 \][/tex]
[tex]\[ xy = 36 - 30 = 6 \][/tex]
हमारे पास अब \(x + y = 5\) और \(xy = 6\) है। इन समीकरणों को हल करने पर हमें \(x\) और \(y\) के मान मिलते हैं:
[tex]\[ t^2 - (x+y)t + xy = 0 \][/tex]
[tex]\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \][/tex]
समाधान:
[tex]\[ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \][/tex]
[tex]\[ t = 3 \text{ और } 2 \][/tex]
चूंकि \(x > y\):
[tex]\[ x = 3 \text{ और } y = 2 \][/tex]
अब, हम देखते हैं कि:
[tex]\[ x^5 - y^5 = 3^5 - 2^5 = 243 - 32 = 211 \][/tex]
इस प्रकार, [tex]\(x^5 - y^5 = 211\)[/tex] सत्य है।
### (क) \(2a^4 - a^2 - 1\) को गुणा करें।
दी गई बहुपद \(2a^4 - a^2 - 1\) को गुणा कारकों के रूप में विभाजित करने के लिए, हम देखते हैं कि इसे निम्नलिखित प्रकार से विभाजित किया जा सकता है:
[tex]\[ 2a^4 - a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)(2a^2 + 1) \][/tex]
### (च) \((2x + 3y)^2 + (2y + 3z)^2 + (2z + 3x)^2\) का मान निकालें।
प्रकाशित राशि की गणना की जाए तो:
[tex]\[ (2x + 3y)^2 + (2y + 3z)^2 + (3x + 2z)^2 \][/tex]
### (ग) \(z = 6\) होने पर दिखाना है कि \(x^5 - y^5 = 211\)।
हमें दो समीकरण दिए गए हैं:
1. \( x + y + z = 11 \)
2. \( xy + yz + zx = 36 \)
जैसा कि \(z = 6\) है, हम इसे उपरोक्त समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं:
1. \( x + y + 6 = 11 \)
[tex]\[ x + y = 5 \][/tex]
2. \( xy + 6y + 6x = 36 \)
अचानक समीकरणों को हल करने से:
[tex]\[ xy + 6(x + y) = 36 \][/tex]
[tex]\[ xy + 6(5) = 36 \][/tex]
[tex]\[ xy = 36 - 30 = 6 \][/tex]
हमारे पास अब \(x + y = 5\) और \(xy = 6\) है। इन समीकरणों को हल करने पर हमें \(x\) और \(y\) के मान मिलते हैं:
[tex]\[ t^2 - (x+y)t + xy = 0 \][/tex]
[tex]\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \][/tex]
समाधान:
[tex]\[ t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \][/tex]
[tex]\[ t = 3 \text{ और } 2 \][/tex]
चूंकि \(x > y\):
[tex]\[ x = 3 \text{ और } y = 2 \][/tex]
अब, हम देखते हैं कि:
[tex]\[ x^5 - y^5 = 3^5 - 2^5 = 243 - 32 = 211 \][/tex]
इस प्रकार, [tex]\(x^5 - y^5 = 211\)[/tex] सत्य है।
