Para determinar una factorización que nos permita encontrar los ceros de la función \( f(x) = 2x^2 - 3x - 2 \), podemos seguir estos pasos:
1. Plantear la función cuadrática:
Comenzamos con la función dada:
[tex]\[
f(x) = 2x^2 - 3x - 2
\][/tex]
2. Factorizar la función cuadrática:
Buscamos una forma factorizada de la función. Esto implica encontrar dos expresiones lineales que, al multiplicarlas, den como resultado la función cuadrática original. La factorización de \( f(x) \) es:
[tex]\[
f(x) = (x - 2)(2x + 1)
\][/tex]
3. Verificar la factorización:
Podemos verificar multiplicando los factores para asegurarnos de que obtenemos la función original:
[tex]\[
(x - 2)(2x + 1) = x(2x + 1) - 2(2x + 1) = 2x^2 + x - 4x - 2 = 2x^2 - 3x - 2
\][/tex]
La factorización es correcta.
4. Encontrar los ceros de la función:
Para encontrar los ceros de la función (los valores de \( x \) para los cuales \( f(x) = 0 \)), igualamos la factorización a cero y resolvemos cada factor por separado:
[tex]\[
(x - 2) = 0 \quad \text{o} \quad (2x + 1) = 0
\][/tex]
Resolviendo estas ecuaciones lineales:
- Para \( x - 2 = 0 \):
[tex]\[
x = 2
\][/tex]
- Para \( 2x + 1 = 0 \):
[tex]\[
2x = -1
\][/tex]
[tex]\[
x = -\frac{1}{2}
\][/tex]
5. Conclusión:
Los ceros de la función \( f(x) = 2x^2 - 3x - 2 \) son \( x = 2 \) y \( x = -\frac{1}{2} \).
Entonces, resumiendo, la factorización de \( f(x) = 2x^2 - 3x - 2 \) es:
[tex]\[
f(x) = (x - 2)(2x + 1)
\][/tex]
Y los ceros de la función, obtenidos a partir de esta factorización, son:
[tex]\[
x = 2 \quad \text{y} \quad x = -\frac{1}{2}
\][/tex]
