Answer :
Dado que \(\phi\) se encuentra en el cuarto cuadrante (IVC) y se nos da \(\cos^2(\phi) = \frac{1}{2}\), procedemos a calcular \(G = \tan(\phi) + \cot(\phi)\).
1. Calcular \(\cos(\phi)\):
Sabemos que \(\cos^2(\phi) = \frac{1}{2}\), entonces:
[tex]\[ \cos(\phi) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \][/tex]
En el cuarto cuadrante, \(\cos(\phi)\) es positivo. Por lo tanto:
[tex]\[ \cos(\phi) = \frac{\sqrt{2}}{2} \][/tex]
2. Calcular \(\sin(\phi)\):
Utilizamos la identidad pitagórica \(\sin^2(\phi) + \cos^2(\phi) = 1\). Sustituimos \(\cos^2(\phi)\):
[tex]\[ \sin^2(\phi) = 1 - \cos^2(\phi) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ \sin(\phi) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \][/tex]
En el cuarto cuadrante, \(\sin(\phi)\) es negativo, así que:
[tex]\[ \sin(\phi) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \][/tex]
3. Calcular \(\tan(\phi)\):
Sabemos que \(\tan(\phi) = \frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)}\). Sustituimos los valores encontrados:
[tex]\[ \tan(\phi) = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1 \][/tex]
4. Calcular \(\cot(\phi)\):
Sabemos que \(\cot(\phi) = \frac{1}{\tan(\phi)}\). Entonces:
[tex]\[ \cot(\phi) = \frac{1}{-1} = -1 \][/tex]
5. Calcular \(G\):
Finalmente calculamos \(G = \tan(\phi) + \cot(\phi)\):
[tex]\[ G = -1 + (-1) = -2 \][/tex]
Por lo tanto, la respuesta es:
[tex]\[ \boxed{-2} \][/tex]
1. Calcular \(\cos(\phi)\):
Sabemos que \(\cos^2(\phi) = \frac{1}{2}\), entonces:
[tex]\[ \cos(\phi) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \][/tex]
En el cuarto cuadrante, \(\cos(\phi)\) es positivo. Por lo tanto:
[tex]\[ \cos(\phi) = \frac{\sqrt{2}}{2} \][/tex]
2. Calcular \(\sin(\phi)\):
Utilizamos la identidad pitagórica \(\sin^2(\phi) + \cos^2(\phi) = 1\). Sustituimos \(\cos^2(\phi)\):
[tex]\[ \sin^2(\phi) = 1 - \cos^2(\phi) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ \sin(\phi) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \][/tex]
En el cuarto cuadrante, \(\sin(\phi)\) es negativo, así que:
[tex]\[ \sin(\phi) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \][/tex]
3. Calcular \(\tan(\phi)\):
Sabemos que \(\tan(\phi) = \frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)}\). Sustituimos los valores encontrados:
[tex]\[ \tan(\phi) = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1 \][/tex]
4. Calcular \(\cot(\phi)\):
Sabemos que \(\cot(\phi) = \frac{1}{\tan(\phi)}\). Entonces:
[tex]\[ \cot(\phi) = \frac{1}{-1} = -1 \][/tex]
5. Calcular \(G\):
Finalmente calculamos \(G = \tan(\phi) + \cot(\phi)\):
[tex]\[ G = -1 + (-1) = -2 \][/tex]
Por lo tanto, la respuesta es:
[tex]\[ \boxed{-2} \][/tex]
