Claro, vamos a resolver el problema paso a paso.
1. Identificación de la forma de la función cuadrática:
La función cuadrática general tiene la forma:
[tex]\[
f(x) = ax^2 + bx + c
\][/tex]
donde \(a\), \(b\) y \(c\) son constantes que debemos determinar.
2. Formar ecuaciones usando los puntos dados:
A partir de las calificaciones iniciales y finales proporcionadas, podemos formar las siguientes ecuaciones:
Para José, cuya calificación inicial es 0 y calificación final es 0:
[tex]\[
f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 0 \implies c = 0
\][/tex]
Para Carlos, cuya calificación inicial es 10 y calificación final es 14:
[tex]\[
f(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 14 \implies 100a + 10b + c = 14
\][/tex]
Dado que \(c = 0\), esta ecuación se simplifica a:
[tex]\[
100a + 10b = 14 \implies 10a + b = 1.4 \quad \text{(Ecuación 1)}
\][/tex]
Para Jazmín, cuya calificación inicial es 20 y calificación final es 20:
[tex]\[
f(20) = a(20)^2 + b(20) + c = 20 \implies 400a + 20b + c = 20
\][/tex]
De nuevo, dado que \(c = 0\), esta ecuación se simplifica a:
[tex]\[
400a + 20b = 20 \implies 20a + b = 1 \quad \text{(Ecuación 2)}
\][/tex]
3. Resolución del sistema de ecuaciones:
Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
[tex]\[
\begin{cases}
10a + b = 1.4 \quad \text{(Ecuación 1)} \\
20a + b = 1 \quad \text{(Ecuación 2)}
\end{cases}
\][/tex]
Restamos la Ecuación 2 de la Ecuación 1:
[tex]\[
(10a + b) - (20a + b) = 1.4 - 1
\][/tex]
[tex]\[
-10a = 0.4 \implies a = -0.04
\][/tex]
Sustituimos \(a\) en la Ecuación 1:
[tex]\[
10(-0.04) + b = 1.4
\][/tex]
[tex]\[
-0.4 + b = 1.4 \implies b = 1.8
\][/tex]
Entonces, los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) son:
[tex]\[
a = -0.04, \, b = 1.8, \, c = 0
\][/tex]
4. Calcular la calificación final de María:
La calificación inicial de María es 15, así que evaluamos \(f(15)\):
[tex]\[
f(15) = -0.04(15)^2 + 1.8(15) + 0
\][/tex]
[tex]\[
f(15) = -0.04(225) + 1.8(15)
\][/tex]
[tex]\[
f(15) = -9 + 27
\][/tex]
[tex]\[
f(15) = 18
\][/tex]
Por lo tanto, la calificación final de María es:
[tex]\[
\boxed{18}
\][/tex]
