I. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. (2 pts. c/u)

1. \(12,000(2)^{\frac{t}{2}} = 60,000\)

2. \(\log_4 (24x) - \log_4 (8) = 3\)

3. \(10,000 e^{0.07x} = 20,000\)

4. [tex]\(\log_4 (7x + 1) = 2\)[/tex]



Answer :

Claro, vamos a resolver cada una de las ecuaciones logarítmicas paso a paso.

### 1. \( 12,000(2)^{\frac{t}{2}} = 60,000 \)

Primero, dividimos ambos lados de la ecuación por 12,000 para simplificar:

[tex]\[ 2^{\frac{t}{2}} = \frac{60,000}{12,000} \][/tex]

[tex]\[ 2^{\frac{t}{2}} = 5 \][/tex]

A continuación, aplicamos el logaritmo base 2 en ambos lados de la ecuación para eliminar la base 2 del exponente:

[tex]\[ \log_2\left(2^{\frac{t}{2}}\right) = \log_2(5) \][/tex]

Usando la propiedad del logaritmo \(\log_b(a^c) = c \log_b(a)\), obtenemos:

[tex]\[ \frac{t}{2} \log_2(2) = \log_2(5) \][/tex]

Sabemos que \(\log_2(2) = 1\), por lo tanto:

[tex]\[ \frac{t}{2} = \log_2(5) \][/tex]

Multiplicamos ambos lados por 2 para despejar \(t\):

[tex]\[ t = 2 \log_2(5) \][/tex]

Así, la solución es:

[tex]\[ t = \frac{2 \log(5)}{\log(2)} \][/tex]

### 2. \( 10,000 e^{0.07 x} = 20,000 \)

Primero, dividimos ambos lados de la ecuación por 10,000:

[tex]\[ e^{0.07 x} = \frac{20,000}{10,000} \][/tex]

[tex]\[ e^{0.07 x} = 2 \][/tex]

Ahora aplicamos el logaritmo natural (\(\ln\)) a ambos lados para eliminar la exponencial:

[tex]\[ \ln\left(e^{0.07 x}\right) = \ln(2) \][/tex]

Usando la propiedad del logaritmo \(\ln(a^c) = c \ln(a)\):

[tex]\[ 0.07 x \ln(e) = \ln(2) \][/tex]

Sabemos que \(\ln(e) = 1\), por lo tanto:

[tex]\[ 0.07 x = \ln(2) \][/tex]

Despejamos \(x\) dividiendo ambos lados por 0.07:

[tex]\[ x = \frac{\ln(2)}{0.07} \][/tex]

Aproximadamente, esto se puede calcular como:

[tex]\[ x \approx 9.902 \][/tex]

### 3. \( \log _4(24x) - \log _4(8) = 3 \)

Usamos la propiedad de los logaritmos \(\log_b(a) - \log_b(c) = \log_b\left(\frac{a}{c}\right)\):

[tex]\[ \log_4\left(\frac{24x}{8}\right) = 3 \][/tex]

Simplificamos el argumento del logaritmo:

[tex]\[ \log_4(3x) = 3 \][/tex]

Para eliminar el logaritmo, convertimos a forma exponencial:

[tex]\[ 4^3 = 3x \][/tex]

Calculamos el valor de \(4^3\):

[tex]\[ 64 = 3x \][/tex]

Finalmente, despejamos \(x\) dividiendo ambos lados por 3:

[tex]\[ x = \frac{64}{3} \][/tex]

### 4. \( \log _4(7x + 1) = 2 \)

Convertimos a forma exponencial para eliminar el logaritmo:

[tex]\[ 4^2 = 7x + 1 \][/tex]

Calculamos el valor de \(4^2\):

[tex]\[ 16 = 7x + 1 \][/tex]

Despejamos \(7x\) restando 1 de ambos lados:

[tex]\[ 15 = 7x \][/tex]

Finalmente, dividimos ambos lados por 7:

[tex]\[ x = \frac{15}{7} \][/tex]

Recapitulando, las soluciones son:

1. \( t = \frac{2 \log(5)}{\log(2)} \)
2. \( x \approx 9.902 \)
3. \( x = \frac{64}{3} \)
4. [tex]\( x = \frac{15}{7} \)[/tex]