Vamos a resolver el problema paso a paso. El objetivo es calcular el producto de las tres últimas cifras del resultado de la suma de los términos en la secuencia \( 8, 88, 888, 8888, \ldots \), donde hay un total de 37 términos. Procedamos con el cálculo:
1. Definición de la secuencia:
La secuencia que estamos sumando es:
[tex]\[
8, 88, 888, 8888, \ldots
\][/tex]
Cada término en la secuencia agrega un nuevo dígito 8 al final del término anterior. Esto significa que el término general se puede describir como \( 888\ldots8 \) con \( k \) ochos, donde \( k \) varia de 1 a 37.
2. Calcular la suma:
Antes de calcular las cifras finales de la suma, sumamos los términos uno a uno. Restamos los términos sucesivos y obtenemos la suma final de:
[tex]\[
8 + 88 + 888 + 8888 + \cdots + \text{un número con 37 ochos}
\][/tex]
El resultado de esta suma es un número con 39 dígitos, es decir:
[tex]\[
8 + 88 + 888 + 8888 + \cdots + \underbrace{888\ldots8}_{37 \text{ cifras}}
\][/tex]
da:
[tex]\[
987654320987654320987654320987654319976
\][/tex]
3. Encontrar las tres últimas cifras:
Del resultado obtenido, las tres últimas cifras son:
[tex]\[
976
\][/tex]
4. Descomponer las últimas tres cifras:
Descomponemos 976 en sus cifras individuales:
- Centena: \(9\)
- Decena: \(7\)
- Unidad: \(6\)
5. Calcular el producto de las tres últimas cifras:
Finalmente, calculamos el producto de estas tres cifras:
[tex]\[
9 \times 7 \times 6 = 378
\][/tex]
Por lo tanto, el producto de las tres últimas cifras del resultado de la suma es [tex]\(\boxed{378}\)[/tex].
