Para completar el segundo término para que sea trinomio cuadrado perfecto, debemos revisar la forma de un trinomio cuadrado perfecto. Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma:
[tex]\[ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \][/tex]
Consideremos el trinomio que tenemos:
[tex]\[ 25 (m + n)^2 + 400 (m - n)^2 \][/tex]
Podemos simplificarlo paso a paso. Primero, expandamos cada cuadrado:
1. Expansión de \( 25 (m + n)^2 \):
[tex]\[ 25 (m + n)^2 = 25 \left((m + n)(m + n)\right) = 25 \left(m^2 + 2mn + n^2\right) = 25m^2 + 50mn + 25n^2 \][/tex]
2. Expansión de \( 400 (m - n)^2 \):
[tex]\[ 400 (m - n)^2 = 400 \left((m - n)(m - n)\right) = 400 \left(m^2 - 2mn + n^2\right) = 400m^2 - 800mn + 400n^2 \][/tex]
Ahora sumamos estos términos:
[tex]\[ 25m^2 + 50mn + 25n^2 + 400m^2 - 800mn + 400n^2 \][/tex]
Agrupando términos semejantes tenemos:
[tex]\[ (25m^2 + 400m^2) + (25n^2 + 400n^2) + (50mn - 800mn) \][/tex]
Entonces se convierte en:
[tex]\[ 425m^2 + 425n^2 - 750mn \][/tex]
Queremos que este resultado sea un trinomio cuadrado perfecto. Para que esto ocurra, debe tener la forma:
[tex]\[ (am - bn)^2 \][/tex]
Donde los coeficientes deben coincidir al desarrollarlo. Para que se encuentre un término cuadrado perfecto, los coeficientes del desarrollo deben cuadrar, es decir, debe estar expresado como el cuadrado de una cantidad binomial.
El último término que falta es el correcto como \( 0~k^2~\), pero el valor es cuadrado perfecto de una forma cuadrática.
Después de corregir y sumar si necesitamos revisar adecuadamente:
[tex]\[ \boxed{ \text{No se puede reducir } } \left( = \left( final \_ 25 (m+n)^2+2k/m-n)^2 \right) }\ \text{por fundirse en una forma cuadrada perfecta. } \][/tex]
