Para resolver esta pregunta, vamos a seguir un proceso paso a paso.
1. Definición de Variables:
Llamaremos \( x \) al dinero inicial que tenía Alberto.
2. Dinero dado a su hermana:
Alberto dio \(\frac{2}{5}\) de sus ahorros a su hermana. Entonces, el dinero dado a su hermana es:
[tex]\[
\text{Dinero dado a la hermana} = \frac{2}{5}x
\][/tex]
3. Dinero restante después de dar a su hermana:
Después de dar \(\frac{2}{5}\) de sus ahorros a su hermana, a Alberto le queda:
[tex]\[
\text{Dinero restante} = x - \frac{2}{5}x
\][/tex]
Simplificamos la expresión:
[tex]\[
\text{Dinero restante} = \frac{5}{5}x - \frac{2}{5}x = \frac{3}{5}x
\][/tex]
4. Dinero gastado:
Alberto gastó la mitad de lo que le quedaba después de dar a su hermana. Entonces, el dinero gastado es:
[tex]\[
\text{Dinero gastado} = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{5}x\right) = \frac{3}{10}x
\][/tex]
5. Dinero restante después de gastar:
Después de gastar la mitad del dinero que le quedaba, a Alberto le queda:
[tex]\[
\text{Dinero restante} = \frac{3}{5}x - \frac{3}{10}x
\][/tex]
Simplificamos la expresión:
[tex]\[
\text{Dinero restante} = \frac{6}{10}x - \frac{3}{10}x = \frac{3}{10}x
\][/tex]
6. Condición final:
Sabemos que el dinero restante después de todos estos pasos es 30 soles. Por lo tanto, tenemos la siguiente ecuación:
[tex]\[
\frac{3}{10}x = 30
\][/tex]
7. Solución de la ecuación:
Para encontrar el valor de \( x \), despejamos \( x \):
[tex]\[
x = 30 \cdot \frac{10}{3} = 100
\][/tex]
Por lo tanto, Alberto tenía inicialmente 100 soles.
