Vamos a resolver cada una de las expresiones usando las propiedades de los logaritmos.
### Parte a) \(\log_2 8 + \log_3 9 + \log_5 5\)
1. \(\log_2 8\): Sabemos que \(8 = 2^3\), así que \(\log_2 8 = 3\).
2. \(\log_3 9\): Sabemos que \(9 = 3^2\), así que \(\log_3 9 = 2\).
3. \(\log_5 5\): Sabemos que \(5 = 5^1\), así que \(\log_5 5 = 1\).
Sumamos los resultados:
[tex]\[
\log_2 8 + \log_3 9 + \log_5 5 = 3 + 2 + 1 = 6
\][/tex]
### Parte b) \(\log_3 \frac{1}{81}\)
1. Sabemos que \(81 = 3^4\), así que \(\log_3 81 = 4\).
2. Para el logaritmo de un recíproco \( \log_b \frac{1}{x} = -\log_b x\), entonces:
[tex]\[
\log_3 \frac{1}{81} = -\log_3 81 = -4
\][/tex]
### Parte c) \(\log_5 \frac{1}{125}\)
1. Sabemos que \(125 = 5^3\), así que \(\log_5 125 = 3\).
2. Para el logaritmo de un recíproco \( \log_b \frac{1}{x} = -\log_b x\), entonces:
[tex]\[
\log_5 \frac{1}{125} = -\log_5 125 = -3
\][/tex]
### Parte d) \(\log_{\frac{1}{5}} 25\)
1. Sabemos que \(1/5 = 5^{-1}\), entonces usar la base \(1/5\) es como usar \(5^{-1}\).
2. Sabemos que \(25 = 5^2\), así que hacemos lo siguiente:
3. \(\log_{5^{-1}} 25 = \log_{5^{-1}} (5^2)\)
4. Por la propiedad de los logaritmos \(\log_b (a^c) = \frac{c}{\log_a b}\):
[tex]\[
\log_{5^{-1}} (5^2) = 2 \cdot \log_{5^{-1}} 5
\][/tex]
5. Sabemos que \(5^{-1} = 1/5\):
[tex]\[
\log_{5^{-1}} 5 = \frac{1}{-1} = -1
\][/tex]
6. Entonces:
[tex]\[
2 \cdot (-1) = -2
\][/tex]
### Parte e) \(\log_{\frac{1}{3}} 27\)
1. Sabemos que \(1/3 = 3^{-1}\), entonces usar la base \(1/3\) es como usar \(3^{-1}\).
2. Sabemos que \(27 = 3^3\), así que hacemos lo siguiente:
3. \(\log_{3^{-1}} 27 = \log_{3^{-1}} (3^3)\)
4. Por la propiedad de los logaritmos \(\log_b (a^c) = \frac{c}{\log_a b}\):
[tex]\[
\log_{3^{-1}} (3^3) = 3 \cdot \log_{3^{-1}} 3
\][/tex]
5. Sabemos que \(3^{-1} = 1/3\):
[tex]\[
\log_{3^{-1}} 3 = \frac{1}{-1} = -1
\][/tex]
6. Entonces:
[tex]\[
3 \cdot (-1) = -3
\][/tex]
En resumen, las soluciones son:
a) \(6\)
b) \(-4\)
c) \(-3\)
d) \(-2\)
e) [tex]\(-3\)[/tex]
