Por supuesto, vamos a demostrar que el límite
[tex]\[
\lim _{x \rightarrow 3}(-18+4 x)=-6
\][/tex]
usando la definición epsilon-delta de límite.
Definición Epsilon-Delta del Límite:
Para demostrar que \(\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L\), debemos probar que para cada \(\epsilon > 0\) existe un \(\delta > 0\) tal que si \(0 < |x - a| < \delta\), entonces \(|f(x) - L| < \epsilon\).
Para nuestro caso:
- \(f(x) = -18 + 4x\)
- \(a = 3\)
- \(L = -6\)
Queremos probar que para cada \(\epsilon > 0\) existe un \(\delta > 0\) tal que si \(0 < |x - 3| < \delta\), entonces \(|(-18 + 4x) - (-6)| < \epsilon\).
Pasos detallados:
1. Simplificar la expresión \(|f(x) - L|\):
[tex]\[
|(-18 + 4x) - (-6)|
= |(-18 + 4x) + 6|
= |4x - 12|
= 4|x - 3|
\][/tex]
2. Establecer la desigualdad:
Queremos que \(|4(x - 3)| < \epsilon\).
3. Resolver para \(|x - 3|\):
[tex]\[
4|x - 3| < \epsilon
\Rightarrow |x - 3| < \frac{\epsilon}{4}
\][/tex]
4. Definir \(\delta\):
Podemos elegir \(\delta = \frac{\epsilon}{4}\).
Entonces, hemos probado que para cada \(\epsilon > 0\), si elegimos \(\delta = \frac{\epsilon}{4}\), y si \(0 < |x - 3| < \delta\), se cumple que \(|(-18 + 4x) - (-6)| < \epsilon\).
Por lo tanto, hemos demostrado que:
[tex]\[
\lim _{x \rightarrow 3}(-18+4 x)=-6
\][/tex]
usando la definición epsilon-delta del límite.
