Para resolver el problema, debemos considerar las condiciones dadas por los numerales en sus respectivas bases y encontrar los valores válidos de \(a\) y \(b\).
1. El numeral \( \overline{2 b 4}_{(5)} \) está correctamente escrito en base 5.
- De ello se deduce que los dígitos de dicho numeral (2, \(b\), y 4) deben estar en el rango de 0 a 4 inclusive.
- Por tanto, \(b\) debe ser menor que 5, es decir \( b < 5 \).
2. El numeral \( 122_{(a)} \) está correctamente escrito en base \(a\).
- Esto implica que cada uno de los dígitos del numeral debe ser menor que \(a\).
- Dado que el mayor dígito en 122 es 2, se deduce que \(a\) debe ser mayor que 2, es decir \( a > 2 \).
3. El numeral \( \overline{1 a}_{(b)} \) está correctamente escrito en base \(b\).
- Los dígitos del numeral (1 y \(a\)) deben ser menores que \(b\).
- Esto se traduce en que \( a < b \).
Ahora, consideremos las restricciones:
- \( b < 5 \)
- \( a > 2 \)
- \( a < b \)
Evaluamos los posibles valores de \( a \):
- Dado que \( a > 2 \), los posibles valores de \(a\) son 3 y 4.
Evaluamos el primer valor posible de \(a\):
- Si \( a = 3 \), entonces \( b > 3 \) y \( b < 5 \), lo cual deja a \(b\) con el único valor posible de \( b = 4 \).
Evaluamos el segundo valor posible de \(a\):
- Si \( a = 4 \), entonces no hay un valor de \(b\) que sea mayor que 4 y menor que 5 al mismo tiempo, por lo que esta opción no es válida.
Así, el único conjunto válido es:
- \( a = 3 \)
- \( b = 4 \)
Por lo tanto, podemos calcular \( a + b \):
[tex]\[ a + b = 3 + 4 = 7 \][/tex]
La respuesta correcta es [tex]\(7\)[/tex].
